## Exponential Power-Chen Distribution and Its Some Properties | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

IRAQI JOURNAL OF STATISTICAL SCIENCES | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Volume 20, Issue 2, December 2023, Pages 134-154 PDF (1.64 M) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Document Type: Research Paper | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

DOI: 10.33899/iqjoss.2023.0181219 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Authors | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Noorsl Ahmed ZEENALABIDEN^{*} ^{1}; Buğra SARAÇOĞLU SARAÇOĞLU^{2}
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^{1}Selcuk University, Graduate School of Natural and Applied Science, Department of Statistics, Phd Student, Konya, Turkey | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

^{2}Selçuk University, Science Faculty, Department of Statistics, Konya, TURKEY | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Abstract | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

In this study, it has been aimed to introduce a new statistical distribution called Exponential Power - Chen by using the method suggested by Alzaatreh et al. (2013). Some statistical properties such as moments, coefficies of skewness and kurtosis, random number generator for Exponential Power Chen (EP-CH) distribution are obtained. Moreover, the maximum likelihood estimators (MLEs) for unknown parameters of EP-CH distribution have been derived and a Monte Carlo simulation study based on mean square errors and biases of this estimators for various sample sizes have been performed. Finally, an application using real data set has been presented for this new distribution. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Highlights | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

In this paper, we have introduced a new lifetime distribution named as Exponential Power Chen (EPCh) distribution by using method of Alzaatreh et al. [2]. Some statistical properties of EPCh distribution such as moments, moment generating function, order statistics | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Keywords | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Exponential Power - X family of distributions; Exponential Power Chen distribution; maximum likelihood estimation (MLE); Monte Carlo simulation | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Full Text | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

A data set can show fitting to many distributions. It is important for statistical inference to determine statistical distribution that best fits to a data set. In recent years, many new statistical distributions have been suggested to modeling real data sets. These new distributions have better fit than current distributions for some real data sets. In literature, many methods have been developed to obtain new continuous distributions. Eugene et al. [9] introduced a family of distributions generated by beta distributions. Cordeiro and Castro [6] introduced the family of distributions generated by the Kumaraswamy distribution. Nadarajah and Kotz [15,16] suggested The beta gumbel and the beta exponential distributions. Akinsete et.al. [1] introduced The beta-pareto distribution. Alzaatreh et al. [2] introduced the new class of distributions by extend method of Eugene et al. [8]. The motivation of this study is method suggested by Alzaatreh et al. [2]. This method can be defined as follows. Suppose and is probability density function (pdf) and cumulative distribution function (cdf) of a continuous random variable, respectively. Let G(x) is cumulative distribution function (cdf) of any random variable X and is a function that has the following properties.
- is a differantiable and monotone non-decreasing function.
- When , and while , .
In this case ,the family of new distributions is defined as follows (1) New distributions obtained by using this method are called as distributions family. (Alzaatreh et al. [2]). Recently, many researchers have found new statistical distributions using this method. Some of these studies can be included as follows: Alzaatreh et al. [2,3] introduced Beta-Exponential-X distribution, Weibull-Pareto distribution and Weibull-X families of distributions. Alzaghal et al. [4] suggested Exponentiated T-X Family of distributions, Tahir et al. [22,23,24] introduced the odd generalized exponential family of distributions, The logistic-X family of distributions and A new Weibull family of distributions. Çelik and Guloksuz [8] suggested a new lifetime distribution called as Uniform-Exponential Distribution. The main purpose of this study is to introduce a new statiscal distribution with four parameters by using method of Alzaatreh et.al. [2] and this new distribution is called as Exponential Power Chen (EPCh) distribution. The rest of this paper is organized as follows. In section 2, information is given about Exponential power and Chen distributions. In section 3, EPCh distribution with parameters have been introduced. In section 4, the some statistical properties such as hazard function, random number generator, moment generating function, moments, variance, skewness and kurtosis coefficients, renyi and shannon enropies for this new distribution are presented. In section 5, maximum likelihood (ML) estimators for parameters of EPCh distribution are obtained. In section 6, a simulation study to see the performances of this estimators in terms of mean square errors (MSEs) and biases is performed. In section 7, a real data analysis is presented. Finally, conclusion is given in section 8. **Exponential Power (EP) and Chen Distributions**
EP distribution introduced by Smith and Bain [21] is used to modeling lifetime data. The cdf, pdf and hazard function (hf) of a random variable X having EP distribution with parameters can be written in order as follows : (2) (3) (4) Another distribution used to model lifetime data is Chen distribution suggested by Chen [7]. The cdf, pdf and hf of a random variable X having Chen distribution with parameters are given, respectively, by (5) (6) (7) **Exponential Power-Chen Distribution**
This new distribution is obtained by using method of Alzaatreh et al. [2]. Suppose that in Eq. (1.1) is defined as follows: (8) where is defined in Eq. (5). If it is used pdf of EP distribution defined in Eq. (3) instead of and , a new distribution called as EP-Ch distribution with parameters is obtained. Cdf, pdf, hf, inverse hazard functions (ihf) and rf of distribution with are given as follows. (9) (10)
(12) (13) The plots of df, pdf, hf and ihf for the various parameter values of the distribution are given in the following order: Figure 1, Figure 2, Figure 3 and Figure 4.
**Some Statistical Properties for****EP-Ch distribution**
The method of inversion transformation has been used to generate random numbers from distribution as following (14) Where u is defined on the unit interval (0,1). When u = 0.5 in Eq (14) the median for EPCh distribution is obtained. In this case, the median can be written as follows; (15)
(16) Where y can be written as follows:
From the equation (16), as a result of transformation, moment is obtained as follows. (17) By using the equation (17), the coefficients of skewness (CS) and kurtosis (CK) can be computed using the following formulas; (18) (19) For different parameter values of EP-Ch distribution, the moment, variance, skewness and kurtosis coefficients are given in Table 1.
The plots of coefficients of skewness and kurtosis are given in Figure 5 and Figure 6.
The moment-generating function (mgf) of a random variable X having EP-Ch distribution, , is obtained as follows. (20)
Let be a random sample taken from distribution. Let indicate the order statistics obtained from this sample. The pdf of the order statistic for is shown as and it is given by; (21) Where , B(..) is the beta function. and are cdf and pdf of the EPCh distribution, respectively.
The mean remaining life function, , defined as the expected value of the remaining lifetime after a fixed time t for a continuous random variable T with a life function, , is stated as follows: (22) Guess and Prosehan [11]. The other formula for is obtained by the help of Tonelli's theorem [20,26] and is given as follows: (23) From equation (22), the mean remaining life function for the EP-Ch distribution is given by (24) Where k can be written as follows:
As a result of applying the transformation in the Eq. (4.11), is obtained as follows. (25) where . According to Bryson and Siddique [5] and Ghitany et al.[10], if hazard function of a non-negative continuous random variable is decreasing (increasing), then mean remaining life function of is increasing (decreasing). The values of for t = 1,2,3 and the different parameter values of EPCh distribution are given in Table 2 and its plot is given by Figure 7. Lemma 1: Let X be a non-negative continuous random variable with HR function h(x) and mean residual life function μ(x) If h(x) is decreasing (increasing), then μ(x) is increasing (decreasing) (see Bryson and Siddique, 1969; Ghitany et al., 2011) Lemma 1: Let X be a non-negative continuous random variable with HR function h(x) and mean residual life function μ(x) If h(x) is decreasing (increasing), then μ(x) is increasing (decreasing) (see Bryson and Siddique, 1969; Ghitany et al., 2011).
Using Lemma 1 and Lemma 2, we note that: a Since h(x) is decreasing for < 1, then μ(x) is increasing by Lemma 1
In this section, Renyi entropy (R'enyi [18] ) and Shannon entropy (Shannon [20] ) are presented for EPCh distribution. A larger entropy value indicates a higher level of uncertainty in the data.
R´enyi entropy (R´enyi,[18]) is an extension of Shannon entropy and has been used in many fields such as physics, engineering, and economics. The Rényi entropy for any distribution is defined as follows: (26) The Rényi entropy for EPCh distribution is given by (27) Where k can be written as follows: . Renyi entropy values for various parameter values of distribution is given in Table 3.
As seen from Figure7, Renyi entropy for EPCh distribution is a concave monotonically decreasing function. At the large values, the Rényi entropy is small.
R´enyi entropy tends to Shannon entropy for [17]. The Shannon entropy is described as follows: (28) The Shannon entropy for the EPCh distribution is obtained as follows. (29) where the Shannon entropy values for different parameter values of the EP-Ch distribution are given in Table 4.
**Maximum Likelihood Estimation**
Let be a random sample with size n taken from distribution. The log-likelihood function is given as follows.
(30) where . Derivatives according to unknown parameters of the log-likelihood function are as follows: (31) (32) (33) (34) MLEs of parameters are obtained by the simultaneous solutions of the equations (31) - (34). These nonlinear equations can be solved using iterative methods. **Simulation Study**
In this section, a simulation study based on 5000 replications to investigate the performances of MLEs of the unknown parameters in terms of bias and mean squared error (MSE) for distribution for different sample sizes n =100,150,200,300,500 and for different parameter values such as (0.5,1.4,0.2,0.5), (0.2,0.8,0.6,0.5), (0.3,0.9,0.6,0.4), (0.2,1.5,0.4,0.2) and (0.3, 2,0.5,0.9) is performed. The simulation results are given in Table 5.
**Real Data Analysis**
In this section, two real data analysis are considered to illustrate that the EPCh distribution can be better than known distributions such as Exponentiated exponential, Weibull and Chen distribution. For this aim, EPCh distribution are compared with above distributions using goodness of fit measures such as the Akaike's Information Criterion (AIC), corrected Akaike's Information Criterion (AICc), the Bayesian Information Criterion (BIC) and -2×log-likelihood value. These measures are given by
(35) (36) (37)
where k is a number of parameters, n is sample size and is the value of log–likelihood function. The first data set which shows failure times of components is the real data set taken from book of Murthy et al [14] are given in Table 6.
0.0014 0.0623 1.3826 2.0130 2.5274 2.8221 3.1544 4.9835 5.5462 5.8196 5.8714 7.4710 7.5080 7.6667 8.6122 9.0442 9.1153 9.6477 10.1547 10.7582 The second data set which states graft survival times in months of 148 renal transplant patients was obtained by Henderson and Milner [13] and was included in the book of Hand et al. [12].
0.0035, 0.0068, 0.01, 0.0101, 0.0167, 0.0168, 0.0197, 0.0213, 0.0233, 0.0234, 0.0508, 0.0508, 0.0533, 0.0633, 0.0767, 0.0768, 0.077, 0.1066, 0.1267, 0.13, 0.1639, 0.1803, 0.1867, 0.218, 0.2967, 0.3328, 0.37, 0.3803, 0.4867, 0.6233, 0.6367, 0.66, 0.66, 0.718, 0.78, 0.7933, 0.7967, 0.8016, 0.83, 0.841, 0.91, 0.9233, 1.0541, 1.0607, 1.0633, 1.0667, 1.1067, 1.2213, 1.2508, 1.2533, 1.38, 1.4267, 1.4475, 1.45, 1.5213, 1.5333, 1.5525, 1.5533, 1.5541, 1.5934, 1.62, 1.63, 1.6344, 1.66, 1.7033, 1.7067, 1.7475, 1.7667, 1.77, 1.7967, 1.8115, 1.8115, 1.8933, 1.8934, 1.9508, 1.9733, 2.018, 2.09, 2.1167, 2.1233, 2.21, 2.2148, 2.2267, 2.25, 2.2533, 2.3738, 2.4082, 2.418, 2.4705, 2.5213, 2.5705, 3.1934, 3.218, 3.2367, 3.2705, 3.3148, 3.3567, 3.4836, 3.4869, 3.6213, 3.941, 3.9433, 4.0001, 4.1733, 4.1734, 4.2311, 4.2869, 4.3279, 4.3902, 4.4267.
The MLE(s) and their standard errors for the unknown parameters of above the distributions are given in Table 8 for data set 1 and Table 10 for data set 2. Goodness of fit measures for these data sets are shown in Table 9 for data set 1 and Table 11 for data set 2. Plots of empirical and theoritical distribution functions of random variables having compared distributions are given by Figure 8 for data set 1 and Figure 9 for data set 2.
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