Beta Control Chart for Monitoring Proportions With Application. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| IRAQI JOURNAL OF STATISTICAL SCIENCES | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Article 8, Volume 18, Issue 1, June 2021, Pages 56-64 PDF (2.05 M) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Document Type: Research Paper | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| DOI: 10.33899/iqjoss.2021.168379 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Authors | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Aseel Abed Al-Kareem* ; Khalida Mohammed | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Department of Statistics and Informatics, Faculty of Computer Science and Mathematics, University of Mosul, Mosul, Iraq | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Abstract | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| In this paper we use a beta Chart to monitor fracture data. The beta Chart displays its control limits based on the beta probability distribution. This Chart was applied to a data set of contaminated peanut proportions. With toxic substances for 34 batches weighing 120 pounds and then comparing it with the traditional Shewart Chart ( p- Chart ), then a sensitivity study is performed to compare both Charts in two cases: under control and out of control. Using several values of average ratios and with different sample sizes, the evaluation is based on one of the criteria that measures the efficiency of the the evaluation is done based on one of the criteria that measures the efficiency of the Chart which is the Average Run Length (ARL) for both cases. , and the operating average in the first case is a function of the type one error is for comparing Charts and in order to discover the shift in the proof the first type and in the second case it is a function of the type two error The second cases Sensitivity analysis using several values of the fracture rate confirmed the superior performance of the beta Chart compared to the p Chart, resulting in the proposed approximation the value of the average operating length of ARLo in the control condition slightly greater and that the value of the average operating length in an out sidesce nario ARL1 controlismuchsmaller | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Highlights | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When the data for the percentage of contaminated peanuts were applied to both the beta and Shewhart panels (P), it was found that the beta panel produced more accurate results than the Shewhart panel. Sensitivity analysis using several fractional values confirmed the outstanding performance of the beta panel compared to the (P) Schwart panel and the proposed approximation resulted in a slightly larger ARL0, and a much smaller ARL1. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Keywords | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| beta control chart; Beta distribution | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Full Text | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 -مقدمة Introduction تؤدی لوحات السیطرة النوعیة دوراً مهما فی عملیة المراقبة الاحصائیة ، إن عملیات السیطرة الإحصائیة )((Statistical Process Control (SPC عادة ماتستخدم فی مراقبة واکتشاف التحولات فی عملیات الإنتاج ، وتعد لوحات السیطرة للصفات ( Attribte ) أدوات مهمة موجودة فی عملیات السیطرة الإحصائیة ( (SPC لمراقبة العملیات باستخدام البیانات المتقطعة(discrete data) . وکانت لوحتا p و np أکثر شیوعًا لرصد الوحدات غیر المطابقة ، والتی طورها Shewhart فی عام 1924. ثم طورت لتکون أکثر حساسیة للکشف عن الانحرافات فی العملیة الانتاجیة . یتم حساب تقدیرات المتوسط والتباین للبیانات بافتراض ان التوزیع الاحتمالی لها هو توزیع ثنائی الحدین وبمعلمتی n و p لعدد الوحدات غیر المطابقة ، ویتم حساب حدود السیطرة بناءً على التقریب للتوزیع الطبیعی (Normal distribution approximation) للبیانات ان المتغیرات من النوع الکسریة (Fraction type) هی مشاهدات مُعَبَّر عنها فی الفترة [0،1] . وفی هذه البحث یقع الکسر ضمن الفترة [0،1] التی تمثل: (1) نسبة مئویة - النسبة بین رقمین من النوع المتقطع ( فمثلا ، عدد الأجزاء المعیبة فی دفعة إنتاج ما) ، و (2) النسبة - النسبة بین رقمین مستمرین (مثلا حجم الکحول فی النبیذ) .وهناک بعض القواعد التی تتعامل مع افتراض التماثل والتقریب للتوزیع الطبیعی حیث فی سنة (1989) أقترح کل من (Schader و Schmid) أن التقریب الطبیعی لتوزیع ذی الحدین یکون مناسباً اذا تحقق الشرطان الآتیان : np (1- p) ≥ 9 (i) (ii) np ≥ 5 عندما 0 < p ≤ 0.5 ≤ (1-p) وبالمثل فی (2003) وصف کل من (Fleiss, Levin و Paik) أن التقریب یکون مناسباً عندما تکون قیمة p تقع فی هذه الفترة (0.3 ≤ p ≤ 0.7) و عندما تکون n کبیرة للغایة بالنسبة ل ≥5) (n p و n (1-p ) ≥ n بینما یبقى التباین ثابتاً np(1-p) . فی حین أشار( Montgomery) فی (2005) إلى أن التقریب الطبیعی لتوزیع ذی الحدین یکون مناسباً عندما : (i)np ≥ 10 p ( 0.1 ≤ p ≤ 0.9 ) (ii) وفی الکثیر من الدراسات ، تُستخدم لوحة p عندما تکون قیم المعلمة p صغیرة (الخ ; …0.01 ; 0.05 ; 0.1 p = 0.001;). فی هذه الحالات ، یکون التوزیع ذو الحدین منحرفًا تمامًا، ویکون التقریب للتوزیع الطبیعی غیرمناسب ؛ لأنه یسمح بقیم سالبة أو أکبر من واحد . وفی عام (1991) اقترح Queensberry لوحة Qذات الحدین (Binomial Q Chart ) لمراقبة البیانات الکسریة غیر المطابقة باستخدام التحویل غیر الخطی لحدود السیطرة ، وأظهر أنه یقترب من التوزیع الطبیعی أقرب إلى ذات الحدین . اما فی (1996) فقد قدّم (Heiman) تعدیلاً لحدود السیطرة فی لوحة p لأحجام العینات الکبیرة sam-ple (10000n >) مشیرًا إلى أنه فی هذه الحالة ، تکون حدود السیطرة ضیقة ، وبالتالی یزید من معدل الإنذار الخاطئ (false alarm ). کما اقترح کل من( SchwertmanوRayan) فی (1997) تعدیلا لحدود السیطرة للوحة nP لتطابق التقریب الطبیعی ( Normal approximation) عندما ( 0.03 ( p < . بینما أقترح Chen) (فی (1998) تعدیلا على حدود السیطرة للوحة P وقارنها بلوحة P التقلیدیة ولوحة Q ذات الحدین باستخدام معدل الإنذار الخاطئ . اما فی (2008) فقد قام کل من ( Sim و ( Limبتکییف لوحة السیطرة للصفات لرصد البیانات ذات القیمة الصفریة واستخدما الفاصل الزمنی (Blyth-Still ) مع 3σ لحساب حدود السیطرة على افتراض أن هذه البیانات تتبع التوزیع ذا الحدین وبواسون . وقارن (Bourke) فی عام (2008) الأداء لأربع لوحات سیطرة من خلال مراقبة تحولات الجزء غیر المطابق فی العملیات الصناعیة. ومن ثم لاحظ أوجه التشابه فی أداء لوحة السیطرة الترکیبی(Synthetic control chart) ولوحة np على مدى فترة زمنیة طویلة من عملیة السیطرة. ولأغراض مماثلة قارن (Aebtarm و Bouguila) فی (2011) الأداء لاحدى عشرة لوحة سیطرة لرصد العیوب مع توزیع بواسون . عندما یکون توزیع البیانات فی العملیة الصناعیة غیر مثماتل یزداد معدل الانذار الخاطئ مع عدم التناسق بسبب التناقض بین شکل توزیع البیانات والتوزیع الطبیعی لها . واقترح ( Nelson ) فی هذه الحالات افتراض أن توزیع البیانات معروف وانشاء لوحة سیطرة بحدود دقیقة یوفّر معدلات إندار خاطئة مرغوبة . لقد تم فی هذا البحث بتطبیق لوحة بیتا للسیطرة على متغیرات من نوع الکسر فی العملیات الصناعیة . حیث تفترض لوحة السیطرة هذه أنه یمکن تقریب بیانات الکسریة عن طریق توزیع بیتا وبناء حدود سیطرة جدیدة بناءً على هذا التوزیع . تم تطبیق لوحة بیتا على بیانات نسبة الفول السودانی الملوث على کل من لوحتی بیتا للسیطرة ولوحة شیوارت (Shewhart (p) ) التقلیدیة لأغراض المقارنة باستخدام البرامجیتین Minitab , R . 2 -هدف البحث تم استخدام لوحة السیطرة بیتا(Beta control chart) لمراقبة العملیات التی تقیس متغیرات من النوع الکسریة. وتعتمد لوحة السیطرة هذه على توزیع احتمالیة بیتا لتقدیر حدود السیطرة للبیانات الکسریة التى لها قیم مقیدة (Restricted) فی الفترة الزمنیة [ 0 , 1 ] . ومن ثم تطبیق اللوحة على بیانات ومقارنتها مع لوحة P ، ثم حساب تحلیل الحساسیة لعدة قیم من الکسور ای النسب . 3 - لوحة بیتا للسیطرة Beta Control Chart یستخدم توزیع بیتا لنمذجة المتغیرات المستمرة المحددة ضمن الفترة الزمنیة] 1 ، 0 [ ، مثل المعدلات ،الکسوروالنسب و کذلک توزیع بیتا ، یکون محددا أیضًا عندما یقتصر متغیر قید الاهتمام y على المدة الزمنیة المستمرة a , b] [ حیث إن a وb قیم معلومة وa < b فی هذه الحالات دون فقدان العمومیة یمکن نمذجة (y - a) / (b - a) بدلا من نمدجة y مباشرة . حیث إن y متغیر عشوائی یتوزع بیتا . وصف Johnson واخرین فی (1995) ، وان المتغیر العشوائی y یتوزع توزیع بیتا بمعلمتی شکل و بدالة کثافة احتمالیة لها تکون على النحو الآتی : f(y; , ) = وان 0 < y < 1 حیث إن> 0 , هی معلمات الشکل للتوزیع و Γ (Ɵ) هی دالة کاما. وان متوسط توزیع بیتا و تباینه هما على التوالی: E(y) = …. ( 1 ) Var(y) = ….. ( 2 ) وان دالة التوزیع التراکمی (CDF))) لتوزیع بیتا F(y; ) = حیث إنB ( , ) ، هی دالة بیتا و ) , B (y ؛ هی دالة بیتا غیر الکاملة. حیث أن الدالة الکمیة quantile function)) هی ψ(α;θ1,θ2) = (y; ) Gupta 2004 ) و Nadarajah ) أن توزیع بیتا متعدد الاستخدامات للغایة ، وله مجموعة متنوعة من التطبیقات (Johnson وآخرون 2005 ( فی حین أن ( ten Caten Sant0Anna, ) افترض فی سنة (2012) أن المتغیرات من نوع الکسریة والنسبة تتوزع توزیع بیتا ، وأن لوحة بیتا تستوعب بشکل طبیعی عدم تماثل نوع البیانات الکسریة والنسبة ، وتکون حدود السیطرة تقتصر على الفترة [ 0 , 1] إن هذه الخصائص للوحة بیتا مفیدة مقارنة باللوحات المعتادة التی تفترض التقریب الطبیعی ، مثل لوحتی p و np ، المعروفة التی ترصد الوحدات غیر المطابقة . یتم تحدید حدی السیطرة االادنى (LCL ) والأعلى ( UCL) للوحة بیتا للسیطرة بواسطة LCL = - W 1 ; UCL= + W 2 حیث إن و یمثلان المتوسط وتباین المتوسط المتغیر الکسری ، وان ,W12Wهما ثوابت مجدولة التی تحدد عرض منطقة السیطرة ( Control rejoin) لغرض بناء حدود السیطرة للوحة بیتا ، بالاعتماد على قیم (n و ) على الرغم من أن لوحة بیتا المقترحة یقدم أساسًا نظریًا صارمًا ، إلا أن هذا یعدّ نقطة سلبیة فی عدم تضمین هذه اللوحة فی حزم البرامج الاحصائیة المتوافرة حالیا . تعرض لوحة Beta المقترحة التطبیق العملی نفسه والبساطة التشغیلیة کما فی لوحة p التی اقترحها Shewhart حیث لا قیود على حجم العینة و اسلوب أخذ العینات. على سبیل المثال ، یمکن جمع أحجام العینات 10 أو 15 أو 20 و ستکون تحلیلات الکشف عن التحولات فی العملیة بالکفاءة نفسها عندما یکون حجم العینات من 50 أو 100 أو 200. لمراقبة العملیات طویلة الأجل ، یجب أن یتم إعادة تقییم حدود السیطرة بشکل دوری ، حتى لو لم یکن هناک دلیل على وجود اختلافات ویسمح هذا الإجراء الدینامیکی للوحة السیطرة بتوفیر مراقبة فعالة واکتشاف مصادر التباین. ( Bayer, eals , 2018 ) 4 –تحلیل الحساسیة Sensitivity Analysis هناک العدید من الأسالیب لقیاس کفاءة أداء لوحات السیطرة ، و یعّد معدل طول التشغیل ( Average Run Length (ARL) ) المقیاس الأکثر استخداماً فی عملیة المراقبة الاحصائیة لتقییم أداء حساسیة لوحات السیطرة للکشف عن الانحرفات فی مخرجات العملیة . ویعدّ العالم (Pag) اول من استخدم مفهوم معدل طول التشغیل فی عام (1954) وعرفه بأنه متوسط عدد العینات المفحوصة ، والتی تکون تحت السیطرة لحین حدوث مایشیر الى أن العملیة اصبحت خارج حدود السیطرة. (2005 , Montgomery) 5 - إستخدام معدل طول التشغیل لتقیم أداء لوحة السیطرة Using Average Run Length to determine the performance of a control chart فی مجال اختبارالفرضیات الإحصائیة یمکننا قیاس الخطأ من النوع الاول والخطأ من النوع الثانی β . ولا یمکن استخدام هذه الطریقة للوحات السیطرة ؛ لأن لوحات السیطرة هی سلسلة من العینات بحسب اختبارات فرضیة العینة وبدلا من الخطأ التقلیدی و β المستخدم باختبار الفرضیات ، عادة مایستخدم متوسط طول التشغیل (ARL ) لقیاس أداء لوحات السیطرة . فی الشکل ( 2 - 1) تم أخد أربع عینات قبل أن تتجاوز نقطة ما حد السیطرة الأعلى ، طول التشغل هو متغیّر عشوائّی یمکن أن یأخد قیماً صحیحة فقط ، ونحن بحاجة الى استخدام القیمة المتوقعة أو متوسط طول التشغیل لقیاس الأداء . (ARL ) متوسط طول التشغیل هو القیمة المتوقعة من طول التشغیل ، والذی یمثل العدد المتوقع للمجموعات الفرعیة حتى تشیر للوحة للخروج عن السیطرة أولاً . یتم الان حساب معدل طول التشغیل فی الحالتین ، وهما :
الشکل ( 1 – 2 ) تحدید طول التشغیل للوحة أولاً : حساب طول التشغیل فی حالة العملیة تحت السیطرة (Calculate Average Run Length In - Control ) متوسط طول التشغیل ARL0 إن متوسط طول التشغیل (ARL0 ) هو العدد المتوقع للعینات حتى تشیر لوحة السیطرة الى مؤشر خروج اللوحة عن السیطرة مع العلم أنها تحت السیطرة . و یمکننا ایضا القول بأنه قد تم ارسال إندار. خاطئ (false alarm ) ، ولتعریف متوسط طول التشغیل (ARL0 ) ریاضیاً فإنه یفسرعلى أنه دالة للخطأ من النوع الأول ( ) ویعتبر معیارا لکلفة القرارات الخاطئة ویمثل کالاتی:- ]مع العلم أن العملیة تحت السیطرة اشارات للخروج عن السیطرة Pr [= ] P0= P │ UCL < y < LCL [ P – 1 = حیث إن P0 تمثل متوسط المتغیّر Y فی حالة استقرار العملیة وعدم حدوث تغییر فیها ولاشتقاق متوسط طول التشغیل ARL0 طول التشغیل احتمالیة الاشارة خارج السیطرة 1 2 3 4 ....... : ........ K α K-1 وبهذا یکون معدل طول التشغیل = E ( ) = K = ... ( 3 ) فإذا لم یحدث تغییرفی العملیة فاحتمال وقوع نقطة خارج حدی السیطرة فان 0.0027 = α وبذلک فإن متوسط طول التشغیل یکون370.4 = 0.0027 / 1 = وهذا یعنی أنه فی حالة استقرار العملیة یتوقع حدوث مؤشر خارج السیطرة بعد فحص 370.4 عینة . ثانیا : حساب طول التشغیل للعملیة خارج السیطرة Calculate Average Run Length Out - Control )) ان متوسط طول التشغیل یمثل العدد المتوقع للعینات من دون إشارة الى وجود مؤشر یشیر الى خروج اللوحة عن السیطرة مع العلم أنها خارج حدود السیطرة وضمن دالة من الخطأ من النوع الثانی . ای افتراض ان تغیرا قد حدث فی مخرجات العملیة عن مرکزها بعدد من الانحرفات الخطأ من النوع الثانی, وهو یقیس معدل عدد المواد المنتجة الردیئة ویمثل کالاتی:- ]مع العلم أن اللوحة خارج حدود السیطرة عدم الاشارة خارج السیطرة لعینة ما Pr [= β ] P1 = P │ UCL < y < LCL [ P – 1 = β ]مع العلم أن اللوحة خارج حدود السیطرة تظهر لوحة شیوارت اشارات لعینة ما Pr [= 1 – β وحیث إن λ + P0 = P1 وان λ تمثل التغیّر الناتج فی العملیة وهو دالة للتباین و P1 تمثل متوسط المتغیرY فی العملیة الخارجة عن السیطرة . ولاشتقاق متوسط طول التشغیل طول التشغیل احتمالیة الاشارة داخل السیطرة 1 β 2 3 : ...... K وبهذا فإن یحسب کما یأتی : = E ( ) = K = .... ( 4 ) وبهذا فان معدل طول التشغیل هو عدد النقاط المرسومة ( المجموعة الجزئیة ) من بدایة تغییر العملیة وحتى حدوث اشارة خارجة عن السیطرة لمقارنة أداء لوحات سیطرة مختلفة من حیث قدرتها على کشف التغیرات . وبهذا نستطیع القول إن معدل طول التشغیل یستخدم لعرض اداء لوحة معینة للسیطرة أو لمقارنة اداء عدة لوحات للسیطرة . ( 2005 , Montgomery) على الرغم من أن لوحة بیتا المقترحة یقدم أساسًا نظریًا صارمًا ، إلا أن هذا یعدّ نقطة سلبیة فی عدم تضمین هذه اللوحة فی حزم البرامج الإحصائیة 6 – الجانب التطبیقی ولغرض إجراء تقییم أداء لوحتی P وبیتا تم استخدام مجموعة من البیانات الحقیقیة لدراسة الفول السودانی الملوث بالمواد السامة فی 34 دفعة من 120 رطلا المتغیر المرصود هو نسبة الفول السودانی الملوث کما هو موضح فی الجدول ( 1 ) (السدحان ، 2010) الجدول (1)نسب الفول السودانی الملوث
ولغرض دراسة تحلیل هذه البیانات قمنا اولا بعمل توصیف لهذه البیانات کما هو موضّح فی الجدول(2) ( تم احتساب التباین بالصیغة العامة له) الجدول ( 2 ) الملخص الاحصائی لمتغیر البیانات
وبعد ذلک قمنا برسم کل من المدرج التکراری ودالة الکثافة الاحتمالیة للمتغیر قید الدراسة ( نسبة الفول السودانی الملوث) وکما هو موضح فی الشکلین ( 1 ) ( 2 ) .
الشکل ( 1 ) المدرج التکراری للبیانات
الشکل (2 ) دالة الکثافة الاحتمالیة للبیانات ولتحدید التوزیع الاحتمالی للبیانات قمناباختبار الفرضیة الآتیة : البیانات تتوزع توزیع بیتا : H0 البیانات لا تتوزع توزیع بیتا : H1 تم إجراء کل من الاختبارات التالیة اختبار Kolmogorov _ Smirnov ، اختبار حسن المطابقة Chi _ Squared واختبار Anderson_ Darling وعن طریق مقارنة قیم المختبر الاحصائی مع القیم الحرجة عند مستوى معنویة 0.05 , 0.01 = تبین أن قیم المختبر الاحصائی اصغر من القیم الحرجة ای انها تقع ضمن منطقة القبول ، وکما هو موضح فی الجدول (3) مما یؤید ان البیانات تتوزع توزیع بیتا . الجدول ( 3 ) اختبارات حسن المطابقة
7 - تحلیلات المقارنة لوحتی بیتا وشیوارت ( p) على نسب الفول السودانی الملوث تم حساب حدود السیطرة عن طریق الرسم البیانی لاحتمالیة الاندارات الکاذبة ( false alarm ) فی عملیة المراقبة بناءً على التوزیع الطبیعی للوحة ( p ) لشیوارت وبناءً على توزیع بیتا للوحة بیتا و الجدول ( 4 ) یبین حدود السیطرة المحسوبة باستخدام تقدیرات العینة لکلتا اللوحتین.
الجدول ( 4 ) حدود السیطرة للوحتی P وبیتا
ومن ثم تم رسم کل من لوحتی P وبیتا ، لغرض مقارنتها کما فی الشکلین المتتالین ( 3 ) و ( 4 ) على التوالی وفق البیانات المستخدمة.
من خلال ملاحظة الشکلین ( 3 ) و( 4 )أظهرت لوحة بیتا التغیرات الحاصلة فی العملیة بشکل أکثر وضوحا من لوحة P حیث إن النقاط قبل العینة 23 کانت فوق خط الهدف ومابعد العینة 23 ظهرت معظمها تحت خط الهدف ، فهذا یدل على السلوک غیر الطبیعی لحجم السموم فی المنتج اما لوحة p فلم تتمکن من توضیح السلوک الغیر طبیعی لعملیة السیطرة . 8 - تقییم الأداء للوحتی بیتا وشیوات Evaluation performance between shewart and beta chart نقوم الآن بإجراء دراسة لمقارنة لوحة شیوارت وبیتا فی فی حالتین هما تحت السیطرة (in – control ) وخارج نطاق السیطرة ( out of control) بحساب متوسط طول التشغیل لقیم مختلفة من و n وثم إجراء تحلیل الحساسیة باستخدام البرامجیة الحسابیة R ، بالنسبة لحالة تحت السیطرة نقوم بحساب ARL0 من المعادلة ( 3 ) ، وبالنسبة للعملیة خارج السیطرة یتم حساب ARL1من المعادلة ( 4 ) وکما أشرنا سابقا فإن ARL0 هو دالة للخطأ من النوع الأول فی حین ARL1هودالة للخطأ من النوع الثانی .
الجدول ( 5 ) مقارنة لقیم کل من ARL لکل من لوحتی شیوارت وبیتا للقیم n = 250 λ = 0.01 P0 = 0.01 و P0 =0.001 n = 2000 λ = 0.01
الجدول ( 6 ) مقارنة لقیم کل من ARL لکل من لوحتی شیوارت وبیتا للقیم P0 = 0.1 n = 350 λ = 0.02 و P0= 0. 1 n = 75 λ = 0.002
من خلال ملاحظة الجدولین ( 5 ) و( 6 ) نجد أن حساسیة لوحات السیطرة التی تم فحصها عندما ( P = 0.001 ) وحجم العینة 2000 لاحظنا أن ARL0 = 312 للوحة شیوارت بینما کانت للوحة بیتا = 370 ARL1على الرغم من أن لوحة شیوارت توفر اکتشافات سریعة للتحولات فی قیم المعلمات :0.01) = ( 0.002 , 0.003 , 0.005 , ولکن لوحة بیتا تظهر حساسیة أکثر لاحتمال الانذار الخاطئ ( false alarm ) والاداء فی اکتشاف التغیرات ( detecting changes) مقارنة بلوحة شیوارت وبالمثل یحدث لقیمة المعلمة ( ) و n = 250 حیث تقدم لوحة بیتا أداء أفضل فی اکتشاف التغیرات عندما 0.1 P =و n = 75 فان حدود السیطرة للوحة شیوارت فی حالة تحت السیطرة تؤثر حدود السیطرة فی الاداء غیر المناسب . حیث تظهر حدود السیطرة هذه اوجه التشابه والأداء الأفضل عندما P = 0.1 و n > 250 . تفرض حدود السیطرة المقترحة فی لوحة بیتا أن متوسط طول التشغیل 370 = ARL0باحتمالیة 0.9973 ای ان مع اکتشاف اسرع للتحولات لجمیع حالات الخروج عن السیطرة ذات القیم الاقل . نظرا لکون التوزیع ذی الحدین وهو من التوزیعات المتقطعة یتم اقتطاع ( truncated) حدود السیطرة الدنیا ل 3σعند القیمة صفر. و القیمة فإن لوحة السیطرة مع التقریب بالتوزیع الطبیعی تقدّم حدوداً ضیقة ( narrow limits) تولد متوسط طول التشغیل ، ویکون اقل من 370 من العینات وانذارات خاطئة. 9 - تعریف حدود الشکل المغلق Definition of closed form limits تم حساب حدودالسیطرة الدنیاوالعلیا لقیم النسب الصغیرة الاَتیة (P = 0.002 , 0.02 . 0.05 and0.1 ) وبأحجام عینات مختلفة حیث ان ( np = 1 , 2 , . . …. , 10 ) فعلى سبیل المثال ننظر لقیم الحدود الدنیا للوحة شیوارت وبیتا عندما n = 100 و p = 0.02 نلاحظ أن الحد الأدنى للوحة Shewhart یساوی – 0.022 فی حین أن الحد الأدنى للوحة Beta المقابلة له یساوی 0.000351 کما هو موضح فی الجدول ( 7 ) حیث إن قیم لوحة بیتا تقع ضمن المدى [ 0 , 1 ] فی حین لوحة شیوارت تکون قیم الحدود الدنیا لها موجبة عندما np ≥ 8 │p ≥ 0.2 بینما حدود السیطرة فی لوحة بیتا مناسبة لای قیم n و p ، لأن الحدود الخاصة بها لا تعتمد على حجم العینة n . الجدول ( 7 ) حدود السیطرة للبیانات بواسطة لوحتی شیوارت وبیتا
10 - الاستنتاجات عندما تم تطبیق البیانات الخاصة لنسب الفول السودانی الملوث على کل من لوحتی بیتا وشیوارت (P) تبین أن لوحة بیتا تودی نتائج أکثر دقة من لوحة شیوارت . أکد تحلیل الحساسیة باستخدام العدید من القیم الکسریة الأداء المتمیز للوحة بیتا مقارنة بلوحة شیوارت (P) ونتج عن التقریب المقترح ARL0 أکبر قلیلاً ، وأن ARL1 أصغر بکثیر. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| References | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1-Al-Sadhan, Abdullah Ibrahim, “Peanuts are among the most famous foods that are contaminated with aflatoxins.” The International Agency for Research on Cancer puts aflatoxins in the list of primary causes of tumors, Riyadh Magazine, June 15, 2010, Issue 15331
2 - Aebtarm, S., & Bouguila, N. (2011). An empirical evaluation of attribute control charts for monitoring defects. Expert Systems with Applications, 38, 7869–7880
3 - Bayer , Fabio , Tondalob , Catia and Mulle , Fernanda ,(2018 ) “ Beta regression control chart for monitoring fractions and proportions”, Computers & Industrial Engineering 2018 1 – 23 April .
4 - Bourke, P. D. (2008). Performance comparisons for the Synthetic control chart for detecting increases in fraction nonconforming. Journal of Quality Technology, Milwaukee, 40(4), 461–475.
5 - Chen, G. (1998). An improved p Chart through simple adjustments. Journal of Quality Technology, Milwaukee, 30(2), 142–151
6 - Fleiss, J. L., Levin, B., & Paik, M. C. (2003). Statistical methods for rates and proportions (3rd ed.). New Jersey: John Wiley & Sons, p. 760 .
7 - - Gupta, A. K., Nadarajah, S., 2004. Handbook of Beta Distribution and Its Applications. CRC Press LLC.
8 - Heimann, P. A. (1996). Attribute control charts with large sample sizes. Journal of Quality Technology, Milwaukee, 28(4), 451–459
9- Lin, S. N., Chou, C. Y., Wang, S. L., & Liu, H. R. (2012). Economic design of autoregressive moving average control chart using genetic algorithms. Expert Systems with Applications, 39, 1793–1798 .
10 - Montgomery, D. C. (2005). Introduction to Statistical Quality Control (5th ed.). New York: John Wiley & Sons. 732p .
11 - Nelson, P. R. (1979). Control charts for Weibull processes with standards given. IEEE Transactions on Reliability, Knoxville, 28(3), 383–387 .
12 - Quesenberry, C. P. (1991). SPC Q charts for a Binomial parameter p: short and long runs. Journal of Quality Technology, Milwaukee, 23(3), 239–246
13 - Schader, M., & Schmid, F. (1989). Two rules of thumb for the approximation of the binomial distribution by normal distribution. The American Statistician, Alexandria, 43(1), 23–24
14 - Sim, C. H., & Lim, M. H. (2008). Attribute charts for zero-inflated process, communications in statistics – simulations and computation. Hamilton, 37(7), 1440–1452 .
15 - Schwertman, N. C., & Ryan, T. P. (1997). Optimal limits for attributes control charts. Journal of Quality Technology, Milwaukee, 29(1), 86 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Statistics Article View: 302 PDF Download: 267 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||