## Reliability Estimation of the Lomax Distribution under Ranked Set Sampling (RSS) With Application | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

IRAQI JOURNAL OF STATISTICAL SCIENCES | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Volume 21, Issue 1, June 2024, Pages 59-76 PDF (838.69 K) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Document Type: Research Paper | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

DOI: 10.33899/iqjoss.2024.183232 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Authors | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Ban Al ani; Musa Mohammed Musa | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

^{}Department of Statistics and Informatics, College of Computer Science and Mathematics University of Mosul, Mosul, Iraq | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Abstract | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Sometimes the researcher faces a problem in obtaining data, or there may be difficulty in obtaining it due to cost, effort, or other reasons related to the time. In this case, sampling methods are used that ensure the researcher achieves his desired goal with a short time, effort, and cost, by using Ranked Set Sampling (RSS). In this paper, the reliability function of the Lomax Distribution was estimated under the (RSS) using four estimation methods, which are the Maximum Likelihood Estimators (MLE), the Maximum Product of Spacings (MPS), the Least Squares (LS) method, and Weighted Least Squares (WLS). The Monte Carlo simulation method was also used to determine the best method, and the best estimate was chosen using the Mean Square Error (MSE) criterion, and the results were applied in the theoretical aspect using the R-program, as the simulation results showed that the most efficient method among the methods used to estimate the reliability function of the Lomax distribution under (RSS) is the (MPS) method. The experimental aspect was applied to real data representing the times of the beginning of complete recovery (times of disease remission) in months for bladder cancer patients for a sample consisting of 96 patients drawn using the (RSS) method. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Highlights | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

On the experimental side, and through the results obtained in tables (3 to 16) and through (MSE), it was shown that the best estimation method is based on the ranked set sampling (RSS) method for the Lomax distribution, taking the default parameter values for the distribution θ = (0.8, 0.5, 0.5) and β = (0.5, 0.5, 1.5) is the method of maximum product spacings (MPS) at different sample sizes, which are (12, 24, 36, 54, 96) and by drawing several different groups (m) and repeating several different cycles (c). Based on the results of the experimental side, real data was taken regarding the period of disease remission in months (beginning of complete recovery) for bladder cancer patients and the best method was applied to these data, which confirmed the superiority of the method over the rest of the methods by observing the curves of the reliability function and the aggregate function. From table (19) and figure (3), it is clear that as the healing period was shorter, the reliability was greater with the treatment and recovery protocol . ## Acknowledgment
The authors are very grateful to the University of Mosul, College of Computer Science and Mathematics for their provided facilities, which helped improve this work's quality.
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Keywords | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Ranked set sampling; Lomax Distribution; Maximum likelihood; Maximum product of spacing estimator; Least Squares; Weighted Least Squares | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Full Text | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

The most common approach to data collection uses the concept of simple random sampling (SRS) from the population. However, sometimes sampling is difficult because the cost of collecting data is expensive or requires a long time. Therefore, cost-optimal sampling methods have received more attention from statisticians, especially when measuring the characteristic of interest is expensive and requires more time to measure it. The idea of Ranked set sampling (RSS) was first proposed by Mclntyre (1951) through his effective attempts to find a more effective estimator to estimate the production of large pasture fields in Australia. There have been several new developments of the idea introduced by McIntyre, which have made the method applicable to a much wider scope in areas such as environmental science, reliability and quality control. The (RSS) method has become an effective alternative to (SRS), as studies presented by many researchers have proven that it is more efficient by using some statistical criteria, including variance reducing of the estimator, and thus gives more accuracy when taking samples of a smaller size than in simple random sampling . The (RSS) can be applied in many studies when the characteristic of interest is very difficult to measure (money, time, work, and organization) but the variable under study can be easily ranked even though it cannot be easily measured. Rankings may be made on the basis of visual inspection, prior information, or other approximate methods that do not require actual measurement. There are many researches and studies that dealt with the (RSS) method, including the work were the researcher A. Wolfe showed that the (RSS) is a statistical method for collecting data that gives a more efficient estimator than simple random sampling. He also explained how to obtain (RSS) and the basic difference. Between it and the (SRS) method (Wolfe, 2004). Hassan estimated the parameters of the exponential distribution based on (RSS) and used the Bayes method and the maximum likelihood estimator and it turned out that the Bayes estimate is the best (Hassan, 2013). A study was conducted by researchers (Al-Omari
## Material and methods
The concept (RSS) is a statistical method to collect data by reducing the sample size and obtaining real measurements with the shortest time and least cost, that is, through which we will obtain measurements that have the most luck to represent the population, which is an alternative to simple random sampling (SRS). The steps for selecting RSS are as follows (Sabry & Al-Metwally, 2021): - We select (m) sets randomly from the population under study, each set of size (m).
- The elements of each set in step (1) are arranged according to a predetermined property, such as ascending or descending order.
- After the arrangement, we take the smallest ordered unit from the first set and the smallest second ordered unit from the second set, and the selection process continues until the largest ordered unit is selected from the last set. The analysis includes only the specific units (m) that enter into the analysis only, and we can reverse the process by choosing the largest unit from the first set and so on to get a new group of size (m), which is called the ranked set sample.
- Repeat steps (1-3) for (c) of cycles until we get a sample of size n = mc. where y
_{(ii)k}represents the ordered unit of sequence i (i=1,2,…,m) in the i-th set in the cycle k (k=1,2,…,c) and represents a single from the sample of the ordered sets with a sample size n=mc
Step1: Step2: For ease, the second step will be written in the following format [ ] Repeating the operation to c of the cycles gives us:
The Lomax distribution is known as the Pareto distribution of the second type. It is useful for modeling and analyzing survival data in medical, biological, engineering, etc. sciences. It has received a great deal of attention from statisticians due to its use in the study of reliability and life. The first to use Lomax distribution was the scientist Lomax in (1954). Let the random variable y follow the Lomax distribution with the parameters β and θ, where θ is a shape parameter and β is a scale parameter, the probability density function (pdf), the cumulative function (cdf) and the reliability function of the variable y respectively are as follows:
Let y
This method is based on the concept of the likelihood function, let y
We substitute the probability density function of (RSS) into equation (1) as follows:
(4) By taking ln for equation (4), we get the following equation:
We differentiate equation (5) with respect to θ and then equalize it to zero we get:
We differentiate equation (5) with respect to β and then equalize it to zero we get:
The equations (6 & 7) cannot be solved by ordinary mathematical methods, so they will be solved numerically using Newton-Raphson's iterative method to obtain the estimators . Therefore, the estimator of the reliability function by the maximum likelihood method under (RSS) of the Lomax distribution is as follows:
If y
where
and , such that
After substituting the cdf of Lomax distribution and taking the Ln, we get:
We derive equation (11) with respect to θ and then equalize it to zero
We derive equation (11) with respect to β and then equalize it to zero
The equations (12 & 13) cannot be solved by ordinary mathematical methods, so they will be solved numerically using Newton-Raphson's iterative method to obtain the estimations . Therefore, the estimator of the reliability function by the maximum likelihood method under (RSS) of the Lomax distribution is as follows:
Swain in 1988 was the first who used to estimate beta distribution parameters based on probability theory that indicates that where is the cumulative distribution function and y
We substitute the cdf function of the Lomax distribution into equation (15)
We derive equation (16) with respect to θ and then equalize it to zero
We derive equation (17) with respect to β and then equalize it to zero
The equations (17 & 18) cannot be solved by ordinary mathematical methods, so they will be solved numerically using Newton-Raphson's iterative method to obtain the estimations . Therefore, the estimator of the reliability function by the maximum likelihood method under (RSS) of the Lomax distribution is as follows:
The weighted least squares (WLS) method is a basic method of estimation, which contains the weight factor (w
We substitute the cdf function of the Lomax distribution into equation (20)
We derive equation (21) with respect to θ and then equalize it to zero
We derive equation (21) with respect to β and then equalize it to zero
The equations (22 & 23) cannot be solved by ordinary mathematical methods, so they will be solved numerically using Newton-Raphson's iterative method to obtain the estimations . Therefore, the estimator of the reliability function by the maximum likelihood method under (RSS) of the Lomax distribution is as follows:
## Statistical Analysis
The simulation program was written using the statistical programming language R. The program includes four basic stages to estimate the parameters and reliability function of the Lomax distribution, as follows:
The values were chosen as follows: - The default values were chosen for the two Lomax distribution parameters, and three models were formed, as follows:
Table (1): Default values for Lomax distribution parameters
- Different sample sizes were chosen (12, 24, 36, 54,96), as follows:
Table (2): The used Sample sizes
- Each experiment was repeated 1000 times.
This is a very important stage on which the subsequent steps depend, as the random variable that follows the Lomax distribution is generated by applying the inverse transformation method, as follows:
Taking the
The value of u is replaced by a generated value that follows a uniform distribution within the interval [0 , 1].
At this stage, the estimation process for the reliability function of the Lomax distribution is performed using the estimation methods mentioned in the theoretical aspect under the (RSS) method.
To compare different estimation methods for the reliability function and find the best estimators, statistical criteria must be used, such as the MSE, since the method that has the lowest MSE value is considered better, such that:
since: L: represents the number of repetitions for each experiment, which is equal to (1000). : is an estimation of according to the used estimation method.
To apply estimation methods for the reliability function of the Lomax distribution and determine the best method, which will be used in estimating the reliability function for real data in the applied aspect using the R program, the simulation results were presented in tables that included a comparison between the estimation methods for the reliability function under the (RSS) method. Based on the equations (6, 7 & 8) for the (RSS) method, the equations (12, 13 & 24) for the MPS method, the equations (17, 18 & 19) for the OLS method, and the equations (22, 23 & 24) for the WLS method, the MSE criteria values were found for each estimation, and the results were as in the following tables. Table (3). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.5, β = 0.5 and a sample size of n = 12
Table (4). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.8, β = 0.5 and a sample size of n = 12
Table (5). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.5, β = 1.5 and a sample size of n = 12
Table (6). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.5, β = 0.5 and a sample size of n = 24
Table (7). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.8, β = 0.5 and a sample size of n = 24
Table (8). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.8, β = 1.5 and a sample size of n = 24
Table (9). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.5, β = 0.5 and a sample size of n = 36
Table (10). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.5, β = 1.5 and a sample size of n = 36
Table (11). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.5, β = 0.5 and a sample size of n = 54
Table (12). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.8, β = 0.5 and a sample size of n = 54
Table (13). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.5, β = 1.5 and a sample size of n = 54
Table (14). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.8, β = 0.5 and a sample size of n = 96
Table (15). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.8, β = 0.5 and a sample size of n = 96
Table (16). Real and estimated reliability values and their associated MSE values when θ = 0.5, β = 1.5 and a sample size of n = 96
Bladder cancer is one of the common diseases that pose a threat to human life. It is also one of the diseases whose degree of reliability cannot be predicted or measured except after some time from the spread of the disease. In this paper, data were obtained for 96 bladder cancer patients, and the data represents. The period of remission of the disease in months (beginning of complete recovery). Data were taken from (Rady,
In order to ensure that the data represented by the patient’s length of stay in the hospital follow a Lomax distribution, the Kolmogorov-Smirnov (K-S) test, the Anderson Darling (A-D) test, and the Chi-Squared test were used, as the null hypothesis states that the data have a Lomax distribution, as follows:
Distribution suitability graphs for the data under study were obtained using the statistical program EasyFit 5.6, and were as follows:
Figure (1) Probability density function curve for the Lomax distribution for real data
Figure (2) Cumulative distribution function curve for the Lomax distribution for real data The results of goodness-of-fit tests also indicate that the data has a Lomax distribution, as follows: Table (17). Chi-square test results for goodness of fit
RSS technology was used to draw a sample size of 96 from the total sample according to the number of cycles (k=16) and the number of units in each group (m=6), and the drawn sample was as follows:
Table (18). Duration of hospital stay in months for the sample using (RSS)
The two parameters of the Lomax distribution were estimated using the (MPS) method because it is the best method in simulation experiments. The results were ( 6.563425; 55.962806), and based on these estimates the reliability function for this distribution was estimated, as follows:
based on this equation, the reliability function was estimated at the survival times of the studied data, as follows: Table (19). Values of the reliability function estimated using the (RSS) method
The estimated reliability function has been plotted with the true reliability function as follows:
Figure (3). Drawing the true and estimated reliability functions based on the (RSS) method
## Discussion
The observed and recorded data in the current work were consistent with Lozano | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

References | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

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