Using ARIMA and Random Forest Models for Climatic Datasets Forecasting | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| IRAQI JOURNAL OF STATISTICAL SCIENCES | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Article 5, Volume 19, Issue 2, December 2022, Pages 42-55 PDF (1.97 M) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Document Type: Research Paper | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| DOI: 10.33899/iqjoss.2022.176203 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Authors | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Oday Aljuborey* 1; Osamah Shukur2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1Department of Statistics and Informatics/College of Computer and Mathematical Science, University of Mosul. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2Dept. of Statistics and Informatics | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Abstract | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| The climatic changes have important role which may lead to huge problems for the health of human and other organisms, therefore it is necessary to study and forecast this type of datasets to reduce . the damages through planning and controlling for these changes in the future. The main problem can be summarized in the nonlinearity of climatic dataset and its chaotic changes. The common approach is the integrated autoregressive and moving average model (ARIMA) as traditional univariate time series approach. Therefore, more appropriate model for studying the climatic data has been proposed for obtaining more accurate forecasting, it can be called random forest (RF) model.This model cannot deal with nonlinear data correctly and that may lead to inaccurate forecasting results. In this thesis, climatic datasets are studied represented by minimum air temperature and rational humidity for agricultural meteorological station in Nineveh. This thesis aims to satisfy data homogeneity through different seasons and find suitable model deal with nonlinear data correctly with minimal forecasting error comparing to ARIMA as traditional model. The research found the adequate of the model for this type of data, as it was found that there are some factors that contribute to the increase in the number of deaths in the epidemic, such as the advanced age of the patient, the length of stay in the hospital, the percentage of oxygen in the patient's blood, in addition to the incidence of some chronic diseases such as asthma. The study recommended a more in-depth study of other types of these models, and the use of other estimation methods, in addition to paying attention to the methods of data recording by the city health department. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Highlights | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Although the ARIMA model is one of the commonly used models in wide and varied applications for forecasting time series, it lacks dealing with non-linear data, and therefore its use with this type of data will lead to inaccurate prediction results, especially when it is used with weather data such as temperatures. And the amounts of evaporation and other non-linear data as indicated by many previous studies.
The use of the random forest model with meteorological data, especially the minimum temperature data and the amounts of evaporation, which are considered non-linear data, will lead to significant improvements in the accuracy of the forecast results and obtain very accurate forecasts compared to the forecast results using traditional methods such as the ARIMA model, because the random forest model is It is a non-linear method, in addition to being considered one of the modern machine learning methods, so it will give high accuracy in prediction by relying on many regression trees at one time and one model, and choosing the best decisions given by the tree forest in the random forest model.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Keywords | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| hierarchical Poisson regression model with random intercept; full maximum likelihood method; intraclass correlation coefficient; fixed and random effects | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Full Text | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
فی هذه البحث تم التطرق الى دراسة التنبؤ ببعض متغیرات الانواء الجویة اذ تکمن أهمیة هکذا تنبؤات من خلال معرفة مدى تأثیرها على الانسان والحیوان والنبات وسائر الکائنات الحیة والتخطیط لمستقبل خالی من مشاکل التأثیرات السلبیة لمتغیرات الانواء الجویة المختلفة وغنی بتأثیراتها الإیجابیة. تم استخدام أنموذج ARIMA کأسلوب تقلیدی شائع الاستخدام وبعد عدة محاولات تم الحصول على افضل نموذج ARIMA یلائم بیانات الدراسة. فی هذه البحث تم استخدام بیانات الانواء الجویة متمثلة بدرجات الحرارة الصغرى وکمیات التبخر لاحد محطات الانواء الجویة الزراعیة فی محافظة نینوى للفترة من (15/5/2018) ولغایة (19/7/2020). ان العدید من الباحثین فی دراسات سابقة استخدموا بیانات الانواء الجویة على اختلافها للتنبؤ واستنتجوا عدم خطیة بیانات الانواء الجویة على الاطلاق ولذلک قد یکون أنموذج ARIMA غیر دقیق فی نتائج التنبؤ لوجود تلک المشکلة فی البیانات ولتلک الأسباب یقترح غالبا استخدام أسالیب أخرى غیر خطیة تتعامل مع هکذا نوع من البیانات بشکل أفضل وبالتالی تعطی نتائج أفضل فی التنبؤ مقارنة بنماذج ARIMA. تعتبر نماذج الغابة العشوائیة Random Forest طریقة دقیقة وقویة للغایة فی التنبؤ بسبب اعتمادها فی اتخاذ القرار على العدید من أشجار القرار حیث تکون أشجار القرار هذه غیر مترابطة وکل منها تؤدی الى قرار مستقل وفی نهایة الامر فأن القرار النهائی لأسلوب الغابة العشوائیة RF سیکون بالغالبیة المطلقة لقرارات أشجار الانحدار التی تتکون منها الغابة العشوائیة مما یجعل من اسلوب الغابة العشوائیة اسلوباُ حصینا ضد عدم خطیة البیانات وکذلک عدم تجانسها. ان بیانات الانواء الجویة تعد بشکل عام أحد أنواع السلاسل الزمنیة التی تحتوی على العدید من المتغیرات الموسمیة وکذلک الدوریة التی قد تؤثر سلبا فی جعل هذا النوع من البیانات غیر متجانسة وکذلک تؤثر فی نتائج التنبؤ ودقتها. لذلک ولتحقیق التجانس الى حد کبیر فی بیانات الدراسة المتمثلة بدرجات الحرارة الصغرى وکذلک کمیات التبخر فقد قسمت البیانات الى قسمین وفقا لطبیعة الأجواء فی محافظة نینوى. القسم الأول من البیانات یضم الأشهر الحارة ومشاهداتها فی حین یضم القسم الثانی الأشهر الباردة. تضم الأشهر الحارة بیانات الأشهر (أیار، حزیران، تموز، آب، أیلول) فیما تضم الأشهر الباردة (تشرین الثانی، کانون الأول، کانون الثانی، شباط، اذار). قام (Shukur and Lee, 2015) باستخدام أنموذج ARIMA للتنبؤ ببیانات السلسلة الزمنیة الخاصة بسرعة الریاح وکذلک استخدم أنموذج ARIMA مع أسالیب أخرى ذکائیة ضمن نماذج هجینة للتنبؤ وکذلک لتقدیر القیم المفقودة فی السلاسل الزمنیة وقد حصل الباحث على نتائج جیدة عند استخدامه أنموذج ARIMA. واقترح (Chen et. at, 2012) أنموذج للتنبؤ والذی اعتمد على طریقة الغابة العشوائیة للتنبؤ ببیانات السلسلة الزمنیة لمؤشر هطول الامطار فی حوض نهر هایخة- الصین حیث أظهرت النتائج ان التنبؤ بأنموذج الغابة العشوائیة RF یعطی قدرات تنبؤیة افضل من أنموذج ARIMA. کما قدم (Kane et. at, 2015) مقترح بتطبیق أنموذج ARIMA وأنموذج الغابة العشوائیة RF للتنبؤ ببیانات السلسلة الزمنیة الخاصة بعرض انفلونزا الطیور (1N5H) فی مصر حیث أظهرت نتائج الدراسة ان أنموذج RF تفوق فی الأداء على أنموذج ARIMA . تناولت هذه البحث التنبؤ لبیانات درجات الحرارة الصغرى وکمیات التبخر للموسمین الحار والبارد ولفترتی التدریب والاختبار. تنوعت الأسالیب المستخدمة فی هذه البحث بهدف حل المشاکل. ان بیانات الانواء الجویة تعد وکما ذکرت دراسات سابقة من البیانات غیر الخطیة مما یتطلب الامر اقتراح أسالیب أکثر تلائماً مع بیانات الدراسة ذلک ان استخدام الأسالیب الشائعة مثل أنموذج ARIMA قد یؤدی غالباً الى نتائج غیر دقیقة. کذلک فان عدم التجانس فی بیانات الدراسة نتیجة لاحتوائها على العدید من الأنماط الموسمیة والدوریة قد یؤدی کذلک الى الحصول على نتائج غیر سلیمة. یهدف هذا البحث على نحو رئیسی الى استخدام أسالیب تؤدی للوصول الى تنبؤات أفضل دقة لمتغیرات الدراسة وتتلخص اهم الاهداف فی استخدام أسلوب تقسیم البیانات الى قسمین أصغر لضمان تجانس البیانات وإعطاء نتائج ادق ویسمى هذا الأسلوب غالباً أسلوب التراصف الزمنی Time stratified. کذلک یعد استخدام أنموذج الغابة العشوائیة کطریقة تضمن تحسین دقة نتائج التنبؤ وذلک لاعتمادها فی اتخاذ القرار النهائی على غالبیة القرارات الفرعیة للعدید من أشجار القرار المستقلة عن بعضها أی ان أنموذج الغابة العشوائیة یعد اسلوباً محصناً فی التعامل مع البیانات غیر الخطیة وقلیلة التجانس مثل بیانات هذه الدراسة. 2. نموذج ARIMA ونموذج الغابة العشوائیة 1.2. نموذج ARIMA(p,d q) سیتم التطرق هنا الى التنبؤ باستخدام أنموذج (ARIMA) وأنموذج الغابة العشوائیة. یعد أسلوب بوکس جنکیز (Box-Jenkins) اساسا فی تحلیل السلاسل الزمنیة والتعرف على أنموذج (ARIMA) للتنبؤ فی بیانات السلسلة الزمنیة. ومن ثم التطرق الى مفهوم الغابة العشوائیة والطرق المستخدمة للتنبؤ مع کیفیة استخدام بعض المقاییس لحساب دقة التنبؤات (Box ,et. at, 2015). تعرف السلسلة الزمنیة بأنها مجموعة من المشاهدات یتم جمعها من ظاهرة معینة فی فترات زمنیة معینة وغالباً ما تکون هذه الفترات متساویة کأن تکون (یوم، أسبوع شهر، سنة، ، ... الخ) وتکون من متغیرین احدهما )مستقل( وهو متغیر الزمن والأخر تابع (معتمد) حسب الظاهرة المدروسة، حیث ان الهدف من تحلیل السلاسل الزمنیة هو تکوین أنموذج لتفسیر سلوک السلسلة الزمنیة واستحصال النتائج وذلک بالتنبؤ بسلوک السلسة المستقبلی وبالاعتماد على البیانات الماضیة. یعد أنموذج ARIMA (p,d q)من ابرز واشهر السلاسل الزمنیة الغیر المستقرة (wei, 2006) حیث ان (p) یشیر الى رتبة أنموذج الانحدار الذاتی و(d) یمثل الفروق اللازمة لتحقیق الاستقراریة و (q) یمثل الى رتبة المتوسطات المتحرکة والصیغة العامة له: (1) (2) اذ ان (3) حیث ان هی معلمة أنموذج الانحدار الذاتی (MA) وان B هو عامل الازاحة الخلفی وان تمثل الأخطاء او التغیرات العشوائیة اعتماداً على بفرض ان التغیرات العشوائیة هی عملیات تشویش ابیض بوسط حسابی صفر وتباین ثابت ویمکن کتابته: (4) Or (5) حیث تعتبر النماذج AR وMA وARMA حالات خاصة من نماذج (ARIMA) على فرض السلسلة الزمنیة مستقرة بثبات التباین وخلوها من الاتجاه العام. ویمکننا ان نعبر عن أنموذج AR(p) بأنه أنموذج ARIMA (p, 0, 0) وعن أنموذج MA(q) بأنه أنموذج ARIMA(0, 0, q) وبعد اخذ الفروق الملائمة وبرتبة ملائمة لها یتم اللجوء الى استخدام الأسالیب نفسها لنماذج السلاسل الزمنیة المستقرة (Wei,1990) (Liu,2006). 2.2. نموذج ARIMA الموسمی هو أحد نماذج ARIMA الذی یستخدم عندما تکون البیانات غیر مستقرة وذلک باحتوائها على تأثیرات موسمیة وتتم ازالتهما الفروق الموسمیة حیث ان: (P) یشیر الى عدد معلمات الانحدار الذاتی الموسمی (D) یمثل عدد الفروق الموسمیة (Q) یشیر الى عدد معلمات المتوسطات المتحرکة الموسمیة، وان: (S) تمثل الفترة الدوریة الموسمیة التی تعید السلسلة فیها نفس الدورة الموسمیة والصیغة العامة لها: (6) Or (7) حیث ان: (8) حیث ان هی معلمة أنموذج الانحدار الذاتی الموسمی وان هی معلمة أنموذج المتوسطات المتحرکة الموسمیة أی ان:
وبفرض ان التغیرات العشوائیة هی عملیات تشویش ابیض بوسط حسابی صفر وتباین ثابت ویستخدم أنموذج ARIMA الموسمی مع التغیرات الموسمیة والتی تتغیر بتکرار بانتظام خلال فترة زمنیة لا تتعدى السنة اما تکون یومیة او أسبوعیة او شهریة او فصلیة (ربع سنویة) ویرجع ظهور هذه التغیرات الى الظروف الطبیعیة على مدار السنة ویرمز لها بالرمز (S) 3.2. نموذج ARIMA (p, d, q) المضاعف هو احد نماذج (ARIMA) الأکثر تعمیما وشمولا حیث یضم فیه المعلمات الموسمیة وغیر الموسمیة والفروقات الخاصة بالنمطین. ویمکن کتابته بشکل عام وکالاتی: - (9) (10) حیث ان:
) ) ) ) 4.2. منهجیة بوکس جنکنز فی تحلیل السلاسل الزمنیة (Barker, 1998), (Box and Jenkins, 1976) تسمى هذه المنهجیة بأسلوب (بوکس-جنکنز) المتکرر فی نمذجة السلاسل الزمنیة وقدم کل من بوکس وجنکز عام (1976) أربع خطوات منهجیة ممیزة ومتسلسلة تباعا هی: الخطوة الأولى: -التعرف على أنموذج افتراضی تجریبی للسلسلة الزمنیة، فأن التعرف یشمل تحقیق شروط الاستقراریة الضعیفة للسلسلة تحت البحث، تم تحدید رتب متعددات الحدود لنماذج السلاسل الزمنیة ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) المحولة. الخطوة الثانیة: -تقدیر معلمات الأنموذج التجریبی الذی تم تحدیده والتعرف علیه فی الخطوة الأولى. الخطوة الثالثة: -اجراء فحوص تشخیصیة عدیدة على الأنموذج لاختبار مدى ملائمته التی اجتازها فهو الأنموذج المطلوب وان کان غیر ذلک وظهر نقص فی تطابقه فتعاد دورة تکراریة أخرى. (تعرف تقدیر فحوص تشخیصیة) الخطوة الرابعة: -تطبیق أنموذج السلسلة الملائم بعد اجتیازه الخطوات الثلاثة السابقة جمیعها والتنبؤ لبیانات السلاسل الزمنیة. اولا: التعرف: Identification: (Liu, 2006) (فاندل، 1992) (pankratz, 1983) للتعرف على الأنموذج الأفضل من نماذج ARIMA وتحدیده فلا بد ان یضم اقل عدد ممکن من المعلمات ویمکن تلخیص الخطوات الأنموذجیة للتعرف على أی أنموذج على النحو التالی: - التوقیع البیانی للسلسلة الزمنیة: عند تحلیل السلسلة الزمنیة فمن الضروری رسم السلسلة الزمنیة بیانیاً وذلک للتعرف على العدید من ملامحها ولاسیما تحدید فیما إذا کانت السلسلة الزمنیة مستقرة او غیر مستقرة إضافة الى الملامح الأخرى. ویعد الارتباط الذاتی والارتباط الذاتی الجزئی من الأدوات المفیدة لبیان مدى استقراریة السلسلة الزمنیة. تحقیق الاستقراریة للسلسلة الزمنیة: -تکون السلسلة الزمنیة مستقرة إذا امتلکت وسطاً حسابیاً وتبایناً ثابتاً فی کثیر من الحالات تکون السلاسل الزمنیة غیر مستقرة ویعود السبب فی ذلک اما فی سبب تغییر فی الوسط الحسابی عبر الزمن أی تمتلک اتجاهاً عاماً او بسبب تغییر فی تباین السلسلة عبر الزمن. فاذا کانت السلسلة الزمنیة غیر مستقرة یمکننا تحقیق الاستقراریة الضعیفة فیها او فی بعض الأحیان نسمیها الاستقراریة من الدرجة الثانیة (Chan, 2004, kitagawa; 2010; palma; 2007) ویمکن تلخیص شروط الاستقراریة الضعیفة بالنقاط التالیة: أ- استقراریة الوسط الحسابی واستقلالیته عن الزمن: (11) حیث ان هو الوسط الحسابی و هو الوسط الحسابی لکل من ب- استقرار التباین واستقلاله عن الزمن (12) حیث ان هو التباین المحدد وان یمثلان التباین للمتغیرین ت- استقرار دالة التغایر الذاتی بحسب الزمن واعتمادها فقط على الفجوة الزمنیة بین المشاهدات. (13) = (14) حیث ان هی التباین المشترک وان هی التباین المشترک بین المتغیرین 3 –تحدید رتب متعدد الحدود (q,p):بعد تحقیق استقراریة السلسلة یتم البدء بالتعرف على ملامح السلسلة وتحدید رتب متعددات الحدود فی أنموذج (ARIMA) وعدد المعلمات (p, q, P, Q) والجدول ادناه یوضح منهجیة مبسطة لتحدید رتب متعددات الحدود فی (ARIMA) وعدد المعلمات فی الأنموذج من خلال دالتی (ACF) (PACF) جدول (1) دالتی الارتباط الذاتی والارتباط الذاتی الجزئی لأنواع نماذج (ARMA)
جدول (2) دالتی الارتباط الذاتی والارتباط الذاتی الجزئی لأنواع نماذج (ARMA) الموسمی
قدم (Box and Jenkins 1976) الارتباط الذاتی الجزئی کأداة ضروریة لتحدید افضل رتب لنماذج (ARIMA) ینطوی بمفهوم الارتباط الذاتی الجزئی على الارتباط الشرطی بین فقط بوجود وبثبوت بقیة المتغیرات أی من دون تأثیرات ویرمز له بالرمز . الخطوة الثانیة: تقدیرات معلمات الأنموذج: Estimating the parameters of the model بعد قیامنا بالمرحلة او الخطوة الأولى وهی التعرف على أنموذج (ARIMA) الافتراضی بطریقة بوکس جنکیز بعد ذلک سوف نقوم بالخطوة الثانیة الا وهی تقدیر معالم الأنموذج وذلک بتنظیم دالة الإمکان (Likelihood Function) للأنموذج، یشار الى مثل هذه التقدیرات بتقدیرات الإمکان الأعظم (Maximum Likelihood Estimates) حیث یمکن کتابة أنموذج (ARIMA) بالصیغة العامة له: (15) حیث ان للسلسلة غیر المستقرة ویستخدم المتجه (W) لــ (n) من المشاهدات حیث ان (n) تمثل عدد المشاهدات بعد تحقیق استقراریة السلسلة. والأنموذج السابق یمکن کتابته بالصیغة التالیة: (16) حیث ان ( یمثل التشویش الأبیض او الخطأ العشوائی عندما یکون التباین ثابتاً والوسط الحسابی صفرا حیث ان دالة الکثافة الاحتمالیة للأخطاء هی: (17) حیث ان ,
وان دالة الکثافة الاحتمالیة لــ W یمکن کتابتها بالصیغة التالیة: (18) حیث ان هی دالة وان هی مجموعة المربعات للدالة التی تحوی ویرمز لها بالرمز وان هی مصفوفة التباین والتباین المشترک للمتجه (w) حیث یتم الحصول على مقدرات الإمکان الأعظم بتعظیم دالة الإمکان او نحصل علیها بعد اخذ اللوغاریتم الطبیعی لدالة الإمکان: (19) (Cryer and Chan,2008) الخطوة الثالثة: الفحص التشخیصی: Diagnostic checking بعد ان تعرفنا على الأنموذج وتم تقدیر معلماته ففی هذه الخطوة سیتم التأکد من دقة الأنموذج وملائمته ومعرفة فیما إذا کانت المعلمات الأنموذجیة معنویة حیث ان هنالک العدید من الأدوات للفحص التشخیصی منها: 1- معنویة المعلمات المقدرة من الجانب الاحصائی یشترط معنویة مقدرات معلمات الأنموذج جمیعها حیث ان المعلمات غیر المعنویة تعتبر من الأسباب المخلة بدقة الأنموذج حیث سیتم اختبار فرضیة العدم والتی تنص على ان مقدرات المعلمات لا تختلف معنویاً عن الصفر أی تساوی الصفر اذ ان القیمة الحرجة لاختبار (t) هی القیمة الجدولیة مضروبة بالخطأ المعیاری المقدر للمعلمة، وان القیم الجدولیة تختلف باختلاف مستوى المعنویة والذی یختلف باختلاف حجم السلسلة الزمنیة، وغالباً ما تستخدم والقیمة الجدولیة لها هو (1.96) فی الاختبارات والتی تناسب البیانات الکبیرة جداً فاذا کانت القیمة المطلقة للقیمة المحسوبة لاختبار (t) لکل مقدر تساوی على الأقل القیمة الحرجة فعند ذلک سوف نرفض فرضیة العدم أی ان (المقدر المعنوی)، اما اذا کانت القیمة المحسوبة لاختبار (t) اکبر من القیمة الحرجة فعند ذلک سوف ترفض فرضیة العدم وتقبل الفرضیة البدیلة. وبالتالی یعتبر هذا مؤشر على إمکانیة تبسیط الأنموذج وذلک بتخفیض عدد معلماته من خلال حذف المعلمات غیر المعنونة من الأنموذج (المقدر غیر المعنوی) وهو المقدر ذو الرتبة الأعلى فی الأنموذج فیتم تبسیط الأنموذج وذلک بحذف هذا المقدر. 2- حالة الارتباط الذاتی لسلسلة البواقی: SACF of Residuals Series من الممکن ان نستخدم (ACF) للبواقی وذلک لاختبار فیما إذا کانت سلسلة البواقی مطابقة وموافقة لعملیة التشویش الأبیض )] فاذا کانت سلسلة البواقی ذات تشویش ابیض فیتوجب ذلک بان دالة الارتباط الذاتی للبواقی ان لا تحتوی على معاملات ارتباط معنویة کذلک لاختبار معنویة معاملات الارتباط الذاتی یجب تقدیر الانحراف المعیاری لمعاملات الارتباط الذاتی للبواقی ثم بعد ذلک ضربها بالقیمة الجدولیة (1.96) لتحدید مدى المعنویة عند ثقة (0.95) (Shukur,2015). الخطوة الرابعة: التنبؤ Forecasting فی هذه المرحلة سوف نقوم بالتنبؤ بالمشاهدات المستقبلیة للسلسلة الزمنیة بعد عبور او اجتیاز مرحلة الفحص التشخیصی بنجاح. على فرض ان (n) تشیر او تمثل الفترة الزمنیة الحالیة لذا یجب ان یکون التنبؤ لمشاهدة تحدث بعد (1) فترة زمنیة الى الامام وان هذه المشاهدة سوف یرمز لها بالرمز ( والتی لم تحدث بعد، علماً ان التنبؤ لقیمة منفردة لکل فترة زمنیة یسمى بــ (التنبؤ بنقطة (Point Forecasting کما یمکن تنبؤ بحدود ثقة حول کل تنبؤ نقطی والذی یدعى (التنبؤ بفترة (Interval Forecasting وسوف نختار طریقة تنبؤات اقل متوسط مربعات خطأ (MMSE) (Minimum Mean Squares Error) والتی تستخدم أنموذج ARIMA (p, d, q) العام. 5.2. الغابة العشوائیة Random Forest (RF) الغابة العشوائیة هی احدى خوارزمیات التعلم الخاضعة للأشراف Supervised أی ان مخرجات الغابة العشوائیة یجب ان تتطابق مع متغیرات الهدف وبمقارنتها تنتج أخطاء التنبؤ وتعتمد على مبدأ تقنیات أشجار التصنیف والانحدار ومن ممیزاتها انها دقیقة حسابیاً وتعمل بسرعة وذلک عبر بیانات کبیرة نسبیاً وهی من التقنیات الحدیثة حیث یتم استخدامها فی العدید من التطبیقات فی مجالات متنوعة لاعتمادها على مبدأ التصنیف والانحدار فهی عبارة عن مخطط لمجموعة أشجار تستخدم لبناء أنموذج یعطی تنبؤات من خلال اوراقها الناتجة عن مساحات وتفرعات مختارة عشوائیاً من البیانات بمبدأ مشابه لبدیهیات أشجار الانحدار (Shumway et. At. 2010) ,الشکل(1) یوضح هیکلیة الغابة العشوائیة کأحد أنواع أشجار الانحدار .
شکل(1) :هیکلیة الغابة العشوائیة کأحد أنواع أشجار الانحدار کل تفرع فی الشجرة فی الشکل (1) یمثل نقطة قرار تم اتخاذها على أساس جملة شرطیة وهکذا تستمر التفرعات لحین الوصول الى القرارات النهائیة المتمثلة بعقد الأوراق حیث ان کل ورقة تعتبر کعقدة منفصلة من قرار منفصل عن باقی الأوراق وان هذه الأشجار تعطی تطابق امثل بین المخرجات المتمثلة بالتنبؤات بالمقارنة مع المتغیر الأصلی الذی تم اعتباره کمتغیر هدف, أی سیتم تطویر أسلوب التنبؤ والحصول على تنبؤات مثلى بأقل أخطاء للتنبؤ عند استخدام أسلوب (RF) کأحد تقنیات أشجار التصنیف والانحدار مقارنة بالأسالیب التقلیدیة للتنبؤ. توفر نمذجة السلاسل الزمنیة باستخدام الغابات العشوائیة قدرة تنبؤیة معززة وأکثر دقة مقارنة بنماذج السلاسل الزمنیة التقلیدیة للتنبؤ خصوصاً ببیانات الأرصاد الجویة وبیانات أخرى کثیرة على العموم. ان الشکل(1) السابق یوضح مبدأ عمل خوارزمیة الغابة العشوائیة کاحد أشجار التصنیف والانحدار الذی یستخدم فی التنبؤ اما الإطار الاشمل الذی یتمیز به أسلوب الغابة العشوائیة فهو أکثر تعمیماً عن أشجار الانحدار والتصنیف وذلک لاعتماده على مبدأ تقسیم عینة بیانات الدراسة الى عدة عینات فرعیة (Bootstrap Sample Sets) وذلک لإخذ جمیع الأنماط السلوکیة لعینة الدراسة فی جمیع الفترات المختلفة والحصول على شجرة انحدار لکل عینة فرعیة ومن ثم فأن مجامیع هذه الأشجار سویة سوف تمثل ما یسمى بالغابة العشوائیة (RF) وان القرار النهائی یکون مستنبطاً من خلال غالبیة عقد الأوراق لجمیع أشجار الانحدار, الشکل (2) یوضح الإطار العام لخوارزمیة عمل الغابة العشوائیة (RF) .
الشکل (2): الإطار العام لخوارزمیة عمل الغابة العشوائیة (RF) . هنالک احتمال ان تکون الأشجار فی الغابة العشوائیة مترابطة فیما بینها بحسب الشکل (2) فأنها عائدة الى نفس نوع البیانات وکذلک تم اعتماد مبدأ التعبئة (bagging principle) الذی اساسه هو عملیة المعاینة التمهیدیة (Bootstrap Sampling) اذ تعمل طریقة التعبئة على تحسین أداء أشجار التصنیف والانحدار وتجعل (RF) أکثر حصانة عند تجمیعها مع بعضها. یتم معالجة ذلک بجعل الاشجار فی الغابة العشوائیة غیر مترابطة مع بعضها (مختلفة)لذلک فقد قدم (Breiman, 2001) مقترحاً لان تنمو کل شجرة بشکل منفصل وکذلک بشکل عشوائی وباجتماع هذین المبدأین ستحدد ملامح وعدد مجموعات العینات الفرعیة المشار الیها فی الشکل (2) .بعد تحویل الأشجار فی الغابة العشوائیة من مترابطة الى غیر مترابطة (مختلفة) مما سیضمن زیادة ملحوظة فی دقة تنبؤ الغابة العشوائیة. یتم بناء خوارزمیة الغابة العشوائیة باستخدام الخطوات الثلاثة ادناه: 1- من بیانات التدریب یتم استخراج B من العینات التمهیدیة والتی هی فی الأصل مترابطة فیما بینها اذ ان B تمثل حجم الغابة او عدد الأشجار المتعددة المشار الیها فی الشکل 2- لکل مجموعة من مجموعات البیانات B فأن نمو الشجرة سیتم باتباع خطوات متسلسلة فی کل عقدة من عقد الشجرة لحین الوصول الى والتی تمثل الحد الأدنى من أوراق الأشجار او عدد العقد وکما یلی: أ- اختیار m والتی تمثل العدد المختار عشوائیاً من التنبؤات فی کل قسم من العدد الکلی للمتغیرات p. ب- اختیار أفضل التنبؤات من التنبؤات المختارة فی (أ) وقد تم الإشارة الیها بالرمز m مع اختیار القسم العائدة الیه بهدف تقلیل قیمة Mse للتنبؤات المختارة فی (أ). ج- فصل العقدة الى عقدتین فرعیتین تبعاً للمعیار المستخدم او القیم التنبؤیة الأفضل التی تم اختیارها فی (ب). 3- استخلاص المخرجات من جمیع الأشجار من خلال إیجاد المجموعة وأخیرا فأنه عند نقطة معینة X فأن التنبؤ ممکن ان حسب المعادلة التالیة: (Noureen,et,at.2019) (20) 2.8 مقاییس خطأ التنبؤ Foracasting Error Measurements للمقارنة بین الطرائق المقترحة سیتم استخدام العدید من مقاییس الخطأ وفی اغلب الدراسات یتم استخدام مقیاس للخطأ RMSE الجذر التربیعی لمتوسط المربعات الخطأ وMAEمتوسط الخطأ المطلق النسبی. وهذه المقاییس یمکن ان تقسم الى مقاییس تصف تشتت البیانات وأخرى تصف الدقة والنسبة المئویة للخطأ. RMSE یقیس عادة التشتت و MAPE یمثل عادة النسبة المئویة لخطأ التکهن ودقته. بحسب مقیاس mean absolute percentage error (MAPE) متوسط القیمة المطلقة للنسبة المئویة للخطأ على النحو التالی: (21) اذ ان r تمثل خطأ التکهن، n عدد المشاهدات و هو السلسلة الحقیقة او الاصلیة المستعملة کهدف. اما مقیاسی mean absolute error (MAE) متوسط القیمة المطلقة للخطأ و root mean squares error (RMSE) الجذر التربیعی لمتوسط مربعات الخطأ فیمکن کتابة الصیغة الریاضیة لهما کما یلی: (Hyndman & Koehler, 2006) (22)
(23) عندما N:عدد مشاهدات العینة و مقدار الخطأ والذی یمثل الفرق بین متغیر القیم الحقیقیة ومتغیر القیم التنبؤیة. 3. النتائج والمناقشة تم تناول نوعین من البیانات تضمنت المجموعة الأولى درجات الحرارة الصغرى لمدینة الموصل والتی نم اخذها من مرکز الأرصاد الجویة الزراعیة/ محافظة نینوى/ محطة الموصل التابعة لوزارة الزراعة فی الموقع المحدد بخط الطول وخط العرض . وتضمنت المجموعة الثانیة کمیة التبخر (mm) مأخوذة من نفس المحطة المشار الیها سابقاً تضمنت مجموعتی البیانات (675) مشاهدة للفترة من (15/5/2018) ولغایة (19/7/2020) ولوحظ احتوائها على بیانات یمکن وصفها بانها غیر متجانسة وذلک للتنوع الذ تحتویه البیانات یمکن وصفها بانها غیر متجانسة وذلک للتنوع الذی تحتویه البیانات من خلال مرورها بالفصول الرسمیة الأربعة وتقلباتها من حیث البرودة والحرارة وغیرها من التقلبات الجویة کما ان ذلک واضح بعد رسم الاتجاه العام. ولتحقیق انسجام أکبر للبیانات فقد تم تقسیمها الى مجموعتین الأولى للموسم البارد ویضم الأشهر (تشرین الثانی-کانون الأول-کانون الثانی-شباط-اذار) والمجموعة الثانیة خاصة بالموسم الحار والذی یضم الأشهر (أیار-حزیران-تموز-اب-أیلول). تم تقسیم البیانات فی کل مجموعة الى مجموعتین جزئیتین هما التدریب والاختبار وذلک للتحقق من صحة ثبوتها من خلال اختبار الأنموذج الذی یتم بناءه ببیانات بالتدریب وذلک باستخدام بیانات مجموعة الاختبار للتحقق من صحة أداء الأنموذج عادة ما یتم افتراض النسبتین 70% و 30% لمجموعتی بیانات التدریب والاختبار على التوالی من العدد الکلی لمشاهدات السلسلة الزمنیة. لذلک تم تقسیم بیانات الموسم البارد الذی یضم (303) مشاهدة الى (212) مشاهدة لمجموعات التدریب و (91) مشاهدة لمجموعات الاختبار. اما فیما یخص الموسم الحار فقد تم تقسیم بیاناته التی تضم (372) مشاهدة الى (262) مشاهدة لمجموعة التدریب و (110) مشاهدة لمجموعة الاختبار. أن استقراریة الأنموذج یتم التحقق منها من خلال رسم السلسلة الزمنیة وکل من دالتی الارتباط الذاتی والارتباط الذاتی الجزئی. اما رسم السلسلة وتوقیعها بیانیاً یجب ان تظهر من خلالها السلسلة الزمنیة منسجمة ومتناسقة وخالیة من القیم الشاذة والمتطرفة ویکون فیها المتوسط والتباین مستقرین اما دالتی الارتباط الذاتی والارتباط الذاتی الجزئی فتستخدمان لتأکید التحقیق من الاستقراریة من خلال نوع الاضمحلال فعندما یکون الاضمحلال عند نحو عدم المعنویة بطیئاً أی بعد أکثر من (6) ارتباطات فعندئذ نتأکد ان السلسلة غیر مستقرة اما الاضمحلال السریع فغالبا ما یدل على استقراریة السلسلة. التوقیع البیانی للسلاسل الزمنیة لفترات التدریب لدرجة الحرارة الصغرى فی الموسمین الحار والبارد وکمیة التبخر للموسمین الحار والبارد على التوالی مدرجة کما فی الشکل(3) ادناه. a b c d الشکل (3) التوقیع البیانی لفترات التدریب لدرجة الحرارة الصغرى فی الموسمین الحار والبارد وکمیة التبخر للموسمین الحار والبارد على التوالی بعد اخذ العدید من الفروقات الاعتیادیة والموسمیة مع اختبار السلاسل بعد کل فرق فقد تم التوصل الى الفروقات التالیة التی تکفی للوصول الى الاستقراریة للسلاسل الزمنیة ولما یلی: 1- السلسة الزمنیة لدرجات الحرارة الصغرى/ الموسم الحار: فرق اعتیادی اول d=1 بالإضافة الى فرق موسمی اول D=1 عند S=5 2- السلسلة الزمنیة لدرجات الحرارة الصغرى/ الموسم البارد: فرق اعتیادی ثانی d=2 بالإضافة الى فرق موسمی ثانی D=2 عند S=5 3- السلسلة الزمنیة لکمیات التبخر/ الموسم الحار: فرق اعتیادی ثانی d=2 بالإضافة الى فرق موسمی ثانی D=2 عند S=5 4- السلسلة الزمنیة لکمیات التبخر/ الموسم البارد: فرق اعتیادی ثانی d=2 بالإضافة الى فرق موسمی ثانی D=2 عند S=5 الاشکال (7) (6) (5) (4)تمثل دالتی الارتباط الذاتی والارتباط الذاتی الجزئی لدرجة الحرارة الصغرى فی الموسمین الحار والبارد وکمیة التبخر للموسمین الحار والبارد على التوالی للسلاسل الزمنیة بعد اخذ الفروقات المشار الیها أعلاه أی بعد تحقیق الاستقراریة للسلاسل الزمنیة.
a b الشکل (4): دالتی الارتباط الذاتی والارتباط الذاتی الجزئی للموسم الحار على التوالی لدرجة الحرارة الصغرىعندما S=5, D=1, d=1
a b الشکل (5): دالتی الارتباط الذاتی والارتباط الذاتی الجزئی للموسم البارد على التوالی لدرجة الحرارة الصغرىعندما S=5, D=2, d=2
a b الشکل (6): دالتی الارتباط الذاتی والارتباط الذاتی الجزئی للموسم الحار على التوالی لکمیة التبخرعندما S=5, D=2, d=2
a b الشکل (7): دالتی الارتباط الذاتی والارتباط الذاتی الجزئی للموسم البارد على التوالی لکمیة التبخرعندما S=5, D=2, d=2 من خلال الاشکال (4) الى (7) من الممکن استنتاج نماذج ARIMA المناسبة لکل مجموعة من البیانات وکما یلی: الأنموذج الأول: -ان الأنموذج المناسب لدرجة الحرارة الصغرى للموسم الحار من الممکن استنتاجه من خلال الشکل(4) a وb حیث تشیر دالة الارتباط الذاتی الى إمکانیة معنویة معلمة واحدة للمتوسطات المتحرکة الاعتیادیة ومعلمة واحدة لمتوسطات المتحرکة الموسمیة. اما دالة الارتباط الذاتی الجزئی فتشیر الى إمکانیة وجود معلمة واحدة معنویة للانحدار الذاتی الموسمی عندما S=5 وبذلک فأن الأنموذج المناسب هو ARIMA (0, 1, 1) والذی یمکن تمثیله حسب الصیغة فی المعادلة ادناه: (24) عندما حیث ظهر ان المعلمات , معنویة. الأنموذج الثانی: -ان الأنموذج المناسب لدرجة الحرارة الصغرى للموسم البارد من الممکن استنتاجه من خلال الشکل(5) a وb حیث تشیر دالة الارتباط الذاتی الى إمکانیة معنویة معلمتین للمتوسطات المتحرکة الاعتیادیة ومعلمة واحدة للمتوسطات المتحرکة الموسمیة. اما دالة الارتباط الذاتی الجزئی فتشیر الى إمکانیة وجود معلمتین معنویتین للانحدار الذاتی الاعتیادی ومعلمتین للانحدار الذاتی الموسمی عندما S=5 وبذلک فأن الأنموذج المناسب هو: والذی یمکن تمثیله حسب الصیغة فی المعادلة ادناه:
(25) عندما حیث ظهر ان جمیع المعلمات معنویة. الأنموذج الثالث: -ان الأنموذج المناسب لکمیة التبخر للموسم الحار من الممکن استنتاجه من خلال الشکل(6) a وb حیث تشیر دالة الارتباط الذاتی الى إمکانیة معنویة معلمة واحدة للمتوسطات المتحرکة الاعتیادیة وثلاث معلمات للمتوسطات المتحرکة الموسمیة اما دالة الارتباط الذاتی الجزئی فتشیر الى إمکانیة وجود ثلاث معلمات معنویة للانحدار الذاتی الموسمی عند S=5 وبذلک فان الأنموذج هو و یمکن تمثیله حسب الصیغة فی المعادلة ادناه:
(26) حیث ان
حیث ظهر ان جمیع المعلمات معنویة. الأنموذج الرابع: -ان الأنموذج المناسب لکمیة التبخر للموسم البارد من الممکن استنتاجه من خلال الشکل(7) a وb حیث تشیر دالة الارتباط الذاتی الى إمکانیة معنویة معلمة واحدة للمتوسطات المتحرکة الاعتیادیة وثلاث معلمات للمتوسطات المتحرکة الموسمیة اما دالة الارتباط الذاتی الجزئی فتشیر الى إمکانیة وجود ثلاث معلمات معنویة للانحدار الذاتی الموسمی عندما S=5 وبذلک فأن الأنموذج المناسب هو: یمکن تمثیله کما فی المعادلة ادناه
(27) حیث ان:
حیث ظهر ان جمیع المعلمات معنویة. الشکل(8) یوضح الارتباطات غیر المعنویة للبواقی لنماذج بیانات درجات الحرارة الصغرى فی الموسمین الحار والبارد وکمیة التبخر للموسمین الحار والبارد على التوالی مما یجعل من هذا الفحص التشخیصی دلیل على سلامة النماذج الاربعة أعلاه.
a b
c d الشکل (8)ACF للبواقی للنماذج الاربعة اعلاه على التوالی تم احتساب قیم معیار متوسط القیمة المطلقة للنسبة المئویة للأخطاء Mean absolute percentage errors (MAPE) والجذر التربیعی لمتوسط مربعات الأخطاء Root of Mean squared errors (RMSE) ومتوسط القیمة المطلقة للأخطاء Mean absolute errors (MAE) الذی یقیس مدى دقة التنبؤات أی هو مؤشر لمدى أخطاء التنبؤ. والجدول (3) ادناه یوضح قیم معاییر الاخطاء للتنبؤات لفترتی التدریب والاختبار باستخدام نماذج ARIMA الأربعة المشار الیها أعلاه. الجدول (3) معاییر(MAPE, RMSE, MAE) للتنبؤات لفترتی التدریب والاختبار للنماذج الاربعة
سیتم الاعتماد على استخدام الایعاز(fitrensemple) فی برنامج (MATLAB) لبناء أنموذج الانحدار التجمیعی(Regression Ensemple Model) للغابة العشوائیة RF باستخدام عدة متغیرات تفسیریة ومتغیر واحد معتمد. ان بیانات هذا البحث تتضمن بیانات سلاسل زمنیة احادیة المتغیر(درجات الحرارة الصغرى وکمیات التبخر) وسیتم اعتماد مبدأ الارتباط الذاتی فی السلاسل الزمنیة لانشاء متغیرات تفسیریة من کل متغیر من متغیرات الدراسة وذلک من خلال استخدام التخلفات الزمنیة للمتغیر الاصلی کمتغیرات تفسیریة حیث سیکون لکل متغیر من متغیرات الدراسة ثلاث متغیرات تفسیریة (ثلاث تخلفات زمنیة) فیما سیکون نفس المتغیر الاصلی هو المعتمد. مبدأ عمل الایعاز (fitrensemple) فی برنامج(MATLAB) هو کما تم ذکره انفا فی بناء أنموذج انحدار تجمیعی مع ملاحظة مایلی: 1- اعتماده على خوارزمیة المربعات الصغرة التعزیزیةLeast-Squares Boosting والتی تتضمن ایجاد مجامیع(Ensemples) لأفضل معادلات تلائم بیانات الدراسة. وفی کل خطوة من هذه الخوارزمیة(LS Boost) سیتم انجاز تعلم جدید وایجاد معادلة انحدار جدیدة ثم ایجاد الفرق بین البیانات الحقیقیة للمتغیر المعتمد والتنبؤ التجمیعی المتراکم من جمیع خطوات التعلم السابقة. ان الفائدة المرجوة من هذه الخوارزمیة هی تصغیر مقیاس(MSE) لأخطاء التنبؤ. ان اساس (LS Boost) یعتمد على مبدأ الخوارزمیة التجمیعیة او التراکمیة (Ensemple Algorithm) والتی تعرف بأنها احد تقنیات التعلم من خلال بناء نماذج عدیدة وتوفیق تلک النماذج للحصول على نتائج افضل. عادة یؤدی استخدام النماذج المجمعة الى حلول ونتائج ادق مما لو استخدمت الاسالیب التقلیدیة التی اساسها أنموذج واحد منفرد. 2- نظرا الى ان الطریقة تعتمد على مبدأ التجمیع والتوفیق بین النماذج فان اشجار الغابة العشوائیة باستخدام (10)تجزءات للبیانات کعدد افتراضی للإیعاز (fitrensemple) کحد اقصى والتی سیستفاد من توفیقها باستخلاص افضل النتائج. وسیتم استخدام (100) شجرة ثم توفیقها للحصول على افضل التنبؤات. بعد الانتهاء من بناء أنموذج الغابة العشوائیة باستخدام ایعاز(fitrensemple) فالخطوة التالیة هی التنبؤ باستخدام هذا الأنموذج الذی یعد هو الأنموذج الامثل للبیانات الدراسة وذلک باستخدام یعاز (Bredict) والذی یتطلب الأنموذج الذی تم بنائه مع بیانات التدریب(المتغیرات التفسیریة فقط) للحصول على التنبؤات الداخلیة المقابلة لفترة التدریب والتی تسمى تنبؤات التدریب(Training Forecast) وکذلک فی خطوة تالیة یتم ادخال نفس الأنموذج الذی تم بنائه مع بیانات الاختبار (المتغیرات التفسیریة فقط) للحصول على التنبؤات فی فترة الاختبار والتی تسمى تنبؤات الاختبار (Testing Forecast) والجدول (4) یوضح قیم معاییر اخطاء التنبؤ (MAPE) و(RMSE) و(MAE) لبیانات التدریب والاختبار. الجدول(4) قیم معاییر اخطاء التنبؤ (MAPE) و(RMSE) و(MAE) لبیانات التدریب والاختبار
من خلال الجدولین (3) و(4) یتضح ان هنالک افضلیة مطلقة لنتائج التنبؤ لبیانات درجة الحرارة الصغرى وکمیات التبخر للموسمین الحار والبارد لفترتی التدریب والاختبار باستخدام أنموذج الغابة العشوائیة مقارنة بنفس نتائج التنبؤ باستخدام الأنموذج التقلیدی ARIMA ای ان أنموذج الغابة العشوائیة اسهم کثیرا بتحسین نتائج التنبؤ وذلک لأنه یأخذ بنظر الاعتبار عدد اوسع من الاحتمالات باعتماده على اشجار تنبؤ عدیدة ومن ثم اختیار افضل نتائج التنبؤ وبذلک یحقق تحسینا کبیرا فی التنبؤ لبیانات الدراسة. 4. الاستنتاجات على الرغم من ان أنموذج ARIMA یعد من النماذج شائعه الاستخدام فی تطبیقات واسعه ومتنوعه للتنبؤ بالسلاسل الزمنیة الا انه یفتقر الى التعامل مع البیانات غیر الخطیة وبالتالی سیؤدی استخدامه مع هکذا نوع من البیانات الى نتائج تنبؤ غیر دقیقه خصوصا ان استخدامه مع بیانات الانواء الجویة مثل درجات الحرارة وکمیات التبخر وغیرها التی تعد من البیانات غیر الخطیة کما اشار الى ذلک الکثیر من الدراسات السابقة. ان استخدام أنموذج الغابة العشوائیة مع بیانات الانواء الجویة خصوصا بیانات درجات الحرارة الصغرى وکمیات التبخر التی تعتبر من البیانات غیر الخطیة سیؤدی الى تحسینات ملحوظه فی دقه نتائج التنبؤ والحصول على تنبؤات دقیقه جدا مقارنه بنتائج التنبؤ باستخدام الطرائق التقلیدیة مثل أنموذج ARIMA وذلک لان أنموذج الغابة العشوائیة یعد من الاسالیب غیر الخطیة بالإضافة الى اعتباره احد اسالیب تعلم الاله الحدیثة لذلک سیعطی دقه عالیة فی التنبؤ من خلال الاعتماد على اشجار انحدار عدیده فی وقت واحد وأنموذج واحد واختیار افضل القرارات التی تعطیها غابه الاشجار فی أنموذج الغابة العشوائیة. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| References | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. Vandel ,Walter, (1992)." Applied time series and Box-Jenkins models",Rayed , Arabic Sudia King. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Statistics Article View: 345 PDF Download: 355 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||