Using Bayes weights to remedy the heterogeneity problem of random error variance in linear models.

Omar, Cheman; Ali, Taha; Ahmed, Kamaran

doi:10.33899/iqjoss.2020.167391

Journals List

Using Bayes weights to remedy the heterogeneity problem of random error variance in linear models.

IRAQI JOURNAL OF STATISTICAL SCIENCES

Article 8, Volume 17, Issue 2, December 2020, Pages 58-67 PDF (1.77 M)

Document Type: Research Paper

DOI: 10.33899/iqjoss.2020.167391

Authors

Cheman Omar^* ; Taha Ali; Kamaran ahmed

Department of Statistics and Informatics, College of Business and Economics, Salahaddin University, Erbil, Iraq

Abstract

In this research, it was suggested to use the InformativeBayes method in calculating the Bayes weights and use them to treat the of heterogeneity problem when estimating the linear regression model parameters using the weighted least squares method (BWLS). And compare it with the classical method through an experimental side to simulate the generated data from a normal distribution and for several different cases as well as an applied side of real data. The results of the research provided the preference of the proposed method on the classical method by relying on some statistical criteria through a program designed for this purpose in the language of MATLAB.

Highlights

1- The number of cases dealing with the problem of inhomogeneity of the variance of random error values of the proposed method was more than the traditional method for all simulation cases except for the fourth case (which was also convergent).
2- The preference was given to the proposed method according to the criterion RMSE, weighting function, AIC and BIC for all simulation cases compared to the traditional method, except for the third case, the preference was given to the traditional method.
3- The traditional method was preferred according to the standard for all simulation cases compared to the proposed method.
4- The applied side on real data confirmed the same results obtained from the experimental side.

Keywords

regression Analysis; contrast inhomogeneity problem; biz style Weighted least squares method

Full Text

المقدمة Introduction

یعتبر تحلیل الانحدار من اوسع الطرق الاحصائیة استخداماً فی مختلف العلوم حیث یحدد العلاقة بین المتغیرات على هیئة المعادلة ویستدل من تقدیر معلماتها على أهمیة وقوة واتجاه هذه العلاقة کما یبین تقدیر الاستجابة والتنبؤ بها بما یفید کثیراً فی التخطیط والقرارات المناسبة.

من الفروض أو الشروط الواجب توفرها عند إجراء تحلیل الإنحدار هو تجانس تباین قیم الخطأ العشوائی (الراوی, 1987) ففی معظم الدراسات والابحاث وخاصة التی تعتمد منها على البیانات المقطعیة (Cross–Section Data) فان تشتت مشاهدات البیانات المقطعیة الخاصة بالمتغیر المعتمد قد تختلف اختلافاً کبیراً من مستوى الى آخر من مستویات المتغیرات المستقلة التی ربما تؤدی إلى ظهور مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ (Heteroscedasticity) وبدورها تؤدی إلى مقدرات معلمات أنموذج خطی غیر کفوءة ومتحیزة فی تقدیراتها لمعلمات الأنموذج فضلاً عن إختبارات المعنویة (t, F) غیر المقنعة ولایمکن إعتمادها (Patrick et. al., 2003), وبالتالی لا یمکن تقدیر معلماتها باستخدام طریقة المربعات الصغرى الاعتیادیة (OLS), لذلک یستخدم عادةً طریقة المربعات الصغرى الموزونة (WLS) لمعالجة هذه المشکلة وذلک باستخدام وزن معین لجعل التباین للاخطاء متجانسة وثابتة.

من جانب آخر وبشکل عام فی علم الاحصاء توجد مدرستان لتقدیر معلمات التوزیعات الاحتمالیة: الاولى تعرف بالمدرسة التقلیدیة والثانیة تسمى بمدرسة بیز. لذلک تناول الجانب النظری الاسلوب التقلیدی واسلوب بیز فی تقدیر الاوزان واستخدامها فی طریقة المربعات الصغرى الموزونة لتقدیر معلمات نموذج الانحدار.

2: الجانبالنظری:

2-1: مفهوم تحلیل الانحدار:

ان تحلیل الانحدار عبارة عن أحد الادوات الاحصائیة الاکثر استعمالاً لانه یعطینا طریقة سهلة لتحدید العلاقة بین المتغیرات. هذه العلاقة بین المتغیرات یمکن التعبیر عنها بشکل معادلة تحتوی على المتغیر المعتمد أو الاستجابة مع واحد أو أکثر من المتغیرات المستقلة أو ان تحلیل الانحدار هو مجموعة طرق الاحصائیة التی تتعامل مع الصیغ المختلفة للنماذج الریاضیة التی تصف العلاقات بین المتغیرات (الدلیمی, 1988) بحیث استخدام نماذج هذه العلاقات لغرض التنبؤ والاستنتاجات الاحصائیة الاخرى.

2-2: أنموذج الانحدار الخطی العام أو المتعدد:

نفرض ان لدینا المتغیر المعتمد دالة خطیة للمتغیرات المستقلة فإن نموذج الانحدار المتعدد یأخذ الصیغة التالیة:

ویمکن التعبیر عنها باستخدام المصفوفات کالاتی:

حیث أن : متجه لمشاهدات المتغیر المعتمد ذات بعد

: مصفوفة مشاهدات المتغیرات المستقلة ذات بعد

: متجه للمعلمات المجهولة ذات بعد

: متجه الاخطاء العشوائیة ذات بعد

2-3: مشکلةعدمتجانستباینالخطأفینموذجالانحدار

ان احدى الفرضیات التی اعتدمت فی تقدیر معالم النموذج الخطی سواء کان بسیطاً او عاماً هی فرضیة التجانس (الفرضیة الثانیة) الآتیة:

تعرف هذه الفرضیة بفرضیة تجانس تباین الخطأ (Error Homogeneity of variance Assumption) ولکن أحیانناً لا تتحقق هذه الفرضیة (کاظم, 2002)، ففی معظم الدراسات والابحاث وخاصة التی تعتمد منها على بیانات احصائیة تأخذ شکل البیانات المقطعیة (Cross–Section Data) فان تشتت مشاهدات البیانات المقطعیة الخاصة بالمتغیر المعتمد قد تختلف اختلافاً کبیراً من مستوى الى اخر من مستویات المتغیرات المستقلة (عبدالمنعم, 2005).

إذا لم تتحقق فرضیة تجانس التباین فان ذلک یؤدی إلى عدم ثبوت تباین الخطأ بین المشاهدات.

هذا یؤدی إلى ظهور مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ (Heteroscedasticity) وبموجبها سوف لن تمتلک تقدیرات المربعات الصغرى الاعتیادیة لمعالم النموذج الخطی صفة اقل تباین ممکن بعبارة اخرى سوف لن تکون افضل تقدیر خطی غیر متحیز (Best linear unbiased estimator) .

2-4: اختبار کشف مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ :

یتم اکتشاف عدم ثبات تباین الخطأ بواسطة عدة طرق منها اختبار جولدفیلد-کوندات (Goldfeld-Quandt Test) حیث اقترح ترتیب البیانات حسب المتغیر المستقلX ترتیباً تصاعدیاً أو تنازلیاً ثم بعد ذلک تقسم البیانات المرتبة الى قسمین مع حذف بعض المشاهدات من الوسط ثم اجرى تحلیل الانحدار لایجاد مجموع مربعات البواقی لکل قسم وذلک للحصول على القیمة المحسوبة للإحصاءة

وتقارن مع القیمة الجدولیة لرفض أو عدم رفض فرضیة العدم.

2-5: معالجة مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ العشوائی:

من أبرز الطرق المستخدمة لمعالجة المشکلة هی طریقة المربعات الصغرى الموزونة، وذلک باستخدام وزن معین لجعل التباین الاخطاء متجانسة وثابتة (علی, (2007)).

ومن اجل دراسة هذه الظاهرة نفترض أن لدینا النموذج الآتی:

نضرب طرفی النموذج بـ

حیث معکوس التباین أی

ان اساس طریقة المربعات الصغرى الموزونة هو جعل مجموع مربعات الخطأ التالی اقل مایمکن:

وباستخدام المشتقات الجزئیة لهذه المعادلة بالنسبة لکل من ثم جعل الناتج مساویاً للصفر وبعد التبسیط نحصل على المعادلتین الطبیعتین التالتین:

وباستخدام المصفوفات نحصل على تقدیرات (WLS) والتی تساوی:

حیث

2-6: مفهوم نظریة بیــز:

لقد وُضِعت نظریة بیز فی أواسط القرن الثامن عشر من قبل الکاهن(Thomas Bayes) . یرکز أسلوب بیز فی التقدیر بمفهومه بشکل عام على توظیف معلومات أولیة Information) (prior حول المعلمات المجهولة المطلوب تقدیرها (أحمد, 2013) ویمکن وصفها على شکل توزیع إحتمالی یعرف بدالة الکثافة الإحتمالیة الأولیة (Prior p.d.f) ویرمز لها . أما دالة التوزیع الحالی لمشاهدات العینة قید الدراسة فتکون فیها المتغیرات العشوائیة (Y) لهذه المشاهدات دالة توزیعیة تعتمد على q ویرمز لها تسمى دالة الإمکان Function) .(Likelihood

ان مقدر بیز ما هو الا الجزء الغنی بالمعلومات فی دالة الکثافة الإحتمالیة اللاحقة (posterior p.d.f) التی یمکن الحصول علیها من دمج دالة الکثافة الإحتمالیة الأولیة للمعلمات مع دالة الإمکان للمشاهدات.

2-7: تقدیر بیز لتباین المتغیر المعتمد

سیتم تقدیر بیز لـ بإستخدام التوزیع الاحتمالی الأولی المعلوماتی لـ ویفترض ان تتوزع توزیع معکوس کاما (Inverse Gamma) وفق الدالة الإحتمالیة الآتیة (P. Richard Hahn et al., 2020):

وبإستخدام التوزیع الاحتمالی الأولی غیر المعلوماتی (Jeffreys) لـ :

وللحصول على دالة کثافة إحتمالیة أولیة مشترکة للمعلمات یتم إستخدام الصیغة الآتیة:

اما دالة الإمکان (Box and Tiao, 1992) فتکون:

من خلال نظریة بیز نحصل على دالة الکثافة الإحتمالیة اللاحقة المشترکة للمعلمات وکالآتی:

إذن الصیغة (5) تمثل نواة التوزیع الطبیعی- معکوس کاما (Normal-Inverse Gamma).

بإجراء عملیة تکامل الدالة (5) بالنسبة نحصل على الدالة الإحتمالیة الحدیة اللاحقة للمعلمة أو بهذه الطریقة (Chib et. al., 2008):

إذن لها توزیع معکوس کاما (Inverse Gamma).

8.2: الطریقة المقترحة:

تمَ إقتراح إستخدام مقدر تباین التوزیع النهائی لمعکوس کاما فی الصیغة (6) لتقدیر أوزان بیز کما فی الصیغة الآتیة:

أوزان بیز المقدرة فی الصیغة (7) سوف تستخدم کأوزان فی طریقة المربعات الصغرى الموزونة (BWLS) لتقدیر معلمات أنموذج الإنحدار الخطی الذی یعانی من مشکلة عدم تجانس تباین قیم الخطأ العشوائی.

3: الجانب التطبیقی:

لغرض تطبیق الطریقة المقترحة لأسلوب المربعات الصغرى الموزونة بأوزان بیز (BWLS) ومقارنتها مع الطریقة التقلیدیة (WLS) فی معالجة مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ العشوائی وتقدیر النموذج الملائم للبیانات تناول البحث نوعان من البیانات تمثل الأولى دراسة محاکاة (محاکاة تجریبیة) والثانیة بیانات حقیقیة (تطبیق عملی).

1.3: دراسة محاکاة:

للمقارنة بین طریقة أوزان بیز والطریقة التقلیدیة فی معالجة مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ العشوائی تمَ إجراء محاکاة بإستخدام لغة ماتلاب من خلال برنامج صمم لهذا الغرض على إفتراض حجم عینة مقدارها (n=40) مشاهدة قسمت إلى جزئین یتألف کل جزء منها (20) مشاهدة بحیث یُولد الخطأ العشوائی للجزء الأول من التوزیع الطبیعی بمعدل صفر وتباین متجانس یساوی واحد (توزیع طبیعی قیاسی) فی حین یتوزع الخطأ العشوائی للجزء الثانی التوزیع الطبیعی بمعدل صفر وإنحراف معیاری مختلف لعدة حالات مقداره ( , و ), لذلک فإن العینة الکلیة لدیها مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ العشوائی مع فرض شرط وجود عدم التجانس للبیانات المولدة من خلال حساب قیمة-F (وإهمال البیانات التی لاتعانی من هذه المشکلة) ومقارنتها مع قیمة-F المجدولة تحت مستوى المعنویة 5% ودرجات حریة ( و ) بعد ترتیب البیانات تصاعدیاً مع حذف من البیانات الوسطى المولدة. وتمَ إفتراض وجود ثلاث متغیرات مستقلة , و مع متجه معلمات مختلفة مقدارها (10, 5, 10 و15) و(20, 10, 20 و-10) وتم رسم التجربة الأولى للقیم المقدرة ضد البواقی المقدرة بإستخدام طریقة المربعات الصغرى الإعتیادیة کما یوضحه الشکل الآتی:

الشکل (1): الرسم البیانی لقیم البواقی ضد القیم لطریقة (OLS)

یبین الشکل (1) وجود زیادة ونقصان فی تباین الخطأ یدل على عدم تجانس تباین الخطأ أی أن تباین البواقی غیر ثابت. کما تمَ رسم نفس التجربة الأولى للقیم المقدرة ضد البواقی المقدرة بإستخدام طریقة المربعات الصغرى الموزونة التقلیدیة والمقترحة بإستخدام أوزان بیز کما یوضحه الشکل الآتی:

الشکل (2): الرسم البیانی لقیم البواقی ضد القیم لطریقة (WLS) و(BWLS)

یبین الشکل (2) عدم وجود زیادة أو نقصان فی تباین الخطأ والذی یدل على تجانس تباین الخطأ أی أن تباین البواقی ثابت.

لغرض المقارنة بین الطریقة المقترحة (BWLS) والتقلیدیة (WLS) تم تکرار التجربة (1000) مرة ولمختلف الحالات المفترضة وحساب عدد حالات نجاح معالجة مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ العشوائی ومعدلات (RMSE, , دالة الترجیح, AIC وBIC) ولخصت النتائج فی الجدول الآتی:

الجدول (1): بعض معاییر نتائج تجارب المحاکاة للطریقة التقلیدیة والمقترحة

الحالة	الطریقة	عدد حالات نجاح المعالجة	RMSE		دالة الترجیح	معیار AIC	معیار BIC
1	قیم المعلمات المفترضة عند			10	5	10	15
	OLS	------	13.824	0.4484	-159.28	326.56	333.32
	WLS	745	1.2079	0.6461	-59.899	127.80	134.55
	BWLS	781	1.1552	0.5438	-59.264	126.53	133.28
2	قیم المعلمات المفترضة عند			20	10	20	-10
	OLS	------	13.899	0.5610	-159.43	326.86	333.62
	WLS	531	1.1629	0.6932	-58.872	125.74	132.50
	BWLS	538	0.9986	0.6177	-53.605	115.21	121.97
3	قیم المعلمات المفترضة عند			10	5	10	15
	OLS	------	17.270	0.3518	-168.19	344.37	351.66
	WLS	853	1.3335	0.5291	-63.658	135.32	142.07
	BWLS	876	1.3436	0.4374	-65.039	138.08	144.83
4	قیم المعلمات المفترضة عند			20	10	20	-10
	OLS	------	17.316	0.4635	-168.25	344.49	351.25
	WLS	698	1.2606	0.5977	-61.766	131.53	138.29
	BWLS	691	1.1603	0.5210	-59.392	126.78	133.54
5	قیم المعلمات المفترضة عند			10	5	10	15
	OLS	------	10.440	0.4695	-148.00	304.01	310.76
	WLS	654	1.3156	0.6799	-63.716	135.43	142.19
	BWLS	788	1.1684	0.5704	-59.843	127.69	134.44
6	قیم المعلمات المفترضة عند			20	10	20	-10
	OLS	------	10.356	0.6924	-147.68	303.36	310.11
	WLS	311	1.0394	0.7950	-54.808	117.62	124.37
	BWLS	352	0.8138	0.7361	-45.590	99.180	105.94

من خلال الجدول (1) نلاحظ أن عدد حالات نجاح معالجة مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ العشوائی (قیمة-F المحسوبة أقل من قیمتها الجدولیة) کانت الأفضلیة للطریقة المقترحة ولکل الحالات المفترضة ماعدا الحالة الرابعة (قیم المعلمات المفترضة عند ) کانت الأفضلیة للطریقة التقلیدیة بمقدار (698) مقابل (691) حالة نجاح للطریقة المقترحة, کما أن هنالک إنخفاض فی عدد حالات النجاح بشکل عام للطریقتان مع زیادة قیمة المعلمات المفترضة وإنخفاض مقادیر الإنحراف المعیاری المفترض.

حسب المعیار جذر متوسط الخطأ التربیعی (RMSE) کانت الأفضلیة للطریقة المقترحة لکل الحالات ما عدا الحالة الثالثة (قیم المعلمات المفترضة عند ) کانت الأفضلیة للطریقة التقلیدیة بمقدار (1.3335) مقابل (1.3436) للطریقة المقترحة, وکلا الطریقتان کانت لهما قیم أفضلیة واقل بکثیر مقارنةً مع طریقة (OLS).

حسب المعیار معامل التحدید کانت الأفضلیة للطریقة التقلیدیة لکل الحالات مقارنة مع الطریقة المقترحة, وکلا الطریقتان کانت لهما قیم أفضلیة (وأقل بکثیر) مقارنةً مع طریقة (OLS).

حسب المعیار دالة الترجیح, (AIC) و(BIC) کانت الأفضلیة للطریقة المقترحة لکل الحالات ما عدا الحالة الثالثة (قیم المعلمات المفترضة عند ) کانت الأفضلیة للطریقة التقلیدیة, وکلا الطریقتان کانت لهما قیم أفضلیة (واقل بکثیر) مقارنةً مع طریقة (OLS).

2.3: تطبیق بیانات حقیقیة:

لغرض توضیح کیفیة معالجة مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ العشوائی باستخدام الاسلوب التقلیدی واسلوب بیز (الطریقة المقترحة) لتقدیر الاوزان فی طریقة المربعات الصغرى الموزونة المستخدمة فی تقدیر معلمات نموذج الانحدار واجراء مقارنة بین الاسلوبین على بیانات حقیقیة تم استخدام البیانات من المصدر (Montgomery and Peck, 1982) والتی تمثل المعدل الشهری لمبیعات سلعة ما (Y_i) فی کل من (30) متجرا ومقدار نفقات الاعلانات السنویة علیها (X_i)، حیث تم تقسیم البیانات الى جزئین الجزء الاول یتکون من (20) مشاهدة کبیانات حالیة (Likelihood) والجزء الثانی یتکون من (10) مشاهدات کبیانات أولیة (Prior).

اختبار مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ:

تم استخدام اختبار کولد-فلید لاختبار مشکلة عدم تجانس التباین أی إختبار الفرضیة الآتیة:

جدول (2): قیم MSE و Cal. F لإختبار کولد-فلید

	MSE	Cal. F	Tab. F(6,6,0.05)
Sample 1	26097400	4.33	4.28
Sample 2	112958000	4.33	4.28

بما ان قیمة- Fالمحسوبة أکبر من قیمتها المجدولة لذلک ترفض فرضیة العدم وتقبل الفرضیة البدیلة أی یوجد مشکلة عدم تجانس التباین. وعلى هذا الأساس سیتم معالجة مشکلة عدم التجانس من خلال مایلی:

1- الطریقة التقلیدیة (WLS):

تم استخدام الصیغة رقم (4) لتقدیر الاوزان والتی تساوی مقلوب تباین الخطأ العشوائی فی طریقة المربعات الصغرى الموزونة لتقدیر معلمات نموذج الانحدار، بعد أن تم تقدیر معلمات النموذج الآتی:

جدول (3): تحلیل التباین للنموذج المقدر باستخدام الاسلوب التقلیدی لتقدیر الاوزان
Source	Sum of Squares	Df	Mean Square	F-Ratio	P-Value	R²
Model	41545816772	1	41545816772	777.29	0.000
Residual	962087830.9	18	53449323.94			0.9774
Total	42507904603	19

یبین جدول رقم (3) تلخیص النتائج من خلال تحلیل التباین للنموذج المقدر وقیمة (R²) باستخدام الاسلوب التقلیدی حیث تبین معنویة النموذج المقدر.

کشف مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ للنموذج المعالج بالاسلوب التقلیدی:

الشکل (3): الرسم البیانی لقیم البواقی ضد القیم لطریقة (WLS)

یبین الشکل (3) عدم وجود زیادة أو نقصان فی تباین الخطأ والذی یدل على تجانس تباین الخطأ للنموذج المقدر باستخدام الاسلوب التقلیدی (WLS).

2- الطریقة المقترحة (BWLS):

تم استخدام الصیغة رقم (7) لتقدیر الاوزان والتی تساوی مقلوب تباین الخطأ العشوائی باستخدام اسلوب بیز فی طریقة المربعات الصغرى الموزونة لتقدیر معلمات نموذج الانحدار، والتی تم الحصول من خلالها على النموذج المقدر الاتی:

جدول رقم (5): تحلیل التباین للنموذج باستخدام اسلوب بیز فی تقدیر الاوزان
Source	Sum of Squares	Df	Mean Square	F-Ratio	P-Value	R²
Model	41210847802.93	1	41210847802.93	771.33	0.000
Residual	961708928.39	18	53428273.8			0.9772
Total	42172556731.32	19

یبین جدول رقم (5) تلخیص النتائج للنموذج المقدر باستخدام اوزان بیز حیث تبین معنویة النموذج المقدر.

کشف مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ للنموذج المعالج باستخدام اسلوب بیز (BWLS):

الشکل (4): الرسم البیانی لقیم البواقی ضد القیم لطریقة (BWLS)

یبین الشکل (4) عدم وجود زیادة أو نقصان فی تباین الخطأ والذی یدل على تجانس تباین الخطأ للنموذج المقدر باستخدام الطریقة المقترحة (BWLS).

المقارنة بین اسلوب بیز (الطریقة المقترحة) والطریقة التقلیدیة:

جدول رقم (7): قیم MSE وR²للنموذجین

R²	MSE	الطریقة المستخدمة
0.9774	53449323.9	الاسلوب التقلیدی لتقدیر الاوزان فی طریقة المربعات الصغرى الموزونة (WLS)
0.9772	53428273.8	اسلوب بیز لتقدیر الاوزان فی طریقة المربعات الصغرى الموزونة (BWLS)

یبیّن جدول رقم (7) أن قیمة متوسط مجموع مربعات الخطأ (MSE) لإسلوب بیز أقل من الاسلوب التقلیدی والذی یؤکد على أفضلیة اسلوب بیز (الطریقة المقترحة) فی حساب الاوزان لطریقة المربعات الصغرى الموزونة فی تقدیر معلمات نموذج الانحدار ومعالجة مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ العشوائی. ولکن حسب معامل التحدید (R²) کانت الأفضلیة للطریقة التقلیدیة بشکل طفیف جداً مقارنةً مع الطریقة المقترحة.

4: الإستنتاجات (Conclusions):

من خلال الجانب التجریبی (المحاکاة) والتطبیقی تمَ إستنتاج مایلی:

1- عدد حالات معالجة مشکلة عدم تجانس تباین قیم الخطأ العشوائی للطریقة المقترحة کانت أکثر من الطریقة التقلیدیة لجمیع حالات المحاکاة ماعدا الحالة الرابعة (التی کانت أیضاً متقاربة).

2- کانت الأفضلیة للطریقة المقترحة حسب المعیار RMSE, دالة الترجیح, AIC و BIC لکل حالات المحاکاة مقارنةً مع الطریقة التقلیدیة, ماعدا الحالة الثالثة کانت الأفضلیة للطریقة التقلیدیة.

3- کانت الأفضلیة للطریقة التقلیدیة حسب المعیار لکل حالات المحاکاة مقارنةً مع الطریقة المقترحة.

4- الجانب التطبیقی على بیانات حقیقیة أکد نفس النتائج التی تمَ الحصول علیها من الجانب التجریبی.

5: التوصیات (Recommendations):

1- إعتماد الطریقة المقترحة فی معالجة مشکلة عدم تجانس تباین قیم الخطأ العشوائی.

2- إجراء دراسات مستقبلیة لمعالجة مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ العشوائی بإستخدام أوزان بیز لبیانات لها توزیعات ریاضیة غیر التوزیع الطبیعی مثل توزیع کاما وویبیل وغیرها.

3- إستخدام طرائق بیز أخرى مثل بیز المتسلسل وغیرها فی حساب أوزان بیز لمعالجة مشکلة عدم تجانس تباین الخطأ العشوائی.

References

6- المصادر:

Ahmed, Kamran Hassan: (2013) "Using the Bayes Method to Estimate the Household Consumption Expenditure Function in Erbil Governorate", PhD thesis in Statistics, College of Administration and Economics, Salahaddin University, Erbil, pp. 37-45.
Al-Dulaimi, Muhammad Munajid and Kazem, Amori Hadi: (1988) “Introduction to Linear Regression Analysis”, University of Baghdad, pp. 292-305.
Al-Rawi, Khasha’ Mahmoud: 1987, “The Introduction to Regression Analysis,” University of Mosul, pp. 146-158.
Abdel Moneim, Tharwat Muhammad: (2005) “The Decline”, The Anglo Egyptian Bookshop, Cairo, pp. 173-185
Ali, Taha Hussein and Tara Ahmed Hassan, (2007) “Estimating the Logistic Model Using Sequential Base Weights”, Journal of Economic and Administrative SciencesUniversity of Baghdad, Vol. 13, No. 11.
Kazem, Amori Hadi and Muslim, Bassem Shailbeh: (2002) “Advanced Economic Measurement Theory and Practice”, Dar Al-Kutub and Documents, University of Baghdad.
Box, G.E.P, & Tiao, G. (1992): "Bayesian Inference in Statistical Analysis", John Wiley & Sons, New York.
Chib, S., Griffiths, W., Koop, G. & Terrell, D. (2008): "Bayesian Econometrics" Howard House, Wagon Lane, Bingley BD16 1WA, UK.
Montgomery, D. C. and E. A. Peck, 1982, "Introduction to Linear Regression Analysis", Wiley, New York.
Patrick J. Rosopa, Meline M. Schaffer and Amber N. Schroeder, (2003): "Managing Heteroscedasticity in General Linear Models", Psychological Methods, American Psychological Association, Vol. 18, No. 3, 335–351.
P. Richard Hahn, Jared S. Murray, and Carlos M. Carvalho, (2020): "Bayesian Regression Tree Models for Causal Inference: Regularization, Confounding, and Heterogeneous Effects": Bayesian) .

Statistics

Article View: 590

PDF Download: 373